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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 148

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar a tensão no ponto A .

Passo 1

Para resoluções de questões deste tipo temos de desenhar o ciclo de Mohr, para determinar os eixos principais e os correspondentes momentos de inércia. Depois vamos Decompor o momento M na direção destes eixos e finalmente calcular a tensão. Ou seja, vamos seguir o seguinte passo-a-passo:

  1. Desenhar o ciclo de Mohr.
  2. Achar os eixos principais.
  3. Decompor o momento sobre estes eixos.
  4. Achar os pontos u e v relativos ao novo eixo.
  5. Calcular a tensão com relação aos novos eixos.

Passo 2

Desenhar o ciclo de Mohr, nós temos a forma geral:

Os momentos do inércia já foram dados então precisamos calcular o ângulo 2 θ m da seguinte forma:

t g ( 2 θ m ) = F Z E F

E calculamos também o raio R da forma:

R 2 = E F 2 + ( F Z ) ²

Assim como o I m é d i o

I m é d i o = I y + I z 2

Show de bola! Agora é só substituir os valores que a gente tem na nossa questão:

I m é d i o = 7,24 + 2,61 2 = 4,925

Calculando o ângulo 2 θ m

t g ( 2 θ m ) = F Z E F

t g ( 2 θ m ) = 2,54 4,925 - 2,61

t g ( 2 θ m ) = 2,54 2,315

t g ( 2 θ m ) = 1,0972

2 θ m = 47,65 °

Logo

θ m = 47,65 ° 2 = 23,83 °

Achando o raio R :

R 2 = 2,315 2 + ( 2,54 ) ²

R 2 = 11,811

R = 11,811 = 3,437 × 10 - 6   m 4

Passo 3

Agora vamos achar os eixos principais, essa parte é mais tranquila do que a anterior e consiste basicamente em achar os pontos U e V :

I u = I m é d i o + R

I u = 4,925 + 3,437 = 8,362 × 10 - 6   m 4

I v = I m é d i o - R

I u = 4,925 - 3,437 = 1,488 × 10 - 6   m 4

Podemos observar que:

I m á x = I u = 8,362 × 10 - 6   m 4

I m í n = I v = 1,488 × 10 - 6   m 4

Passo 4

Agora vamos decompor o momento M sobre estes eixos ( U e V ) que acabamos de encontar. Note que o novo eixo ficará da seguinte forma.

M u = M ⋅ s e n ( θ m )

M u = 3 ⋅ s e n 23,83 ° = 1,212   k N ⋅ m

M v = M ⋅ c o s ( θ m )

M v = 3 ⋅ c o s 23,83 ° = 2,744   k N ⋅ m

Passo 5

Já os novos pontos nós vamos achar de forma parecida, como mostrado, de forma genérica, abaixo:

u A = y A ⋅ c o s ( θ m ) + z A ⋅ s e n ( θ m )

u A = ( - 102 + 25,1 ) ⋅ c o s ( 23,83 ° ) + 50,5 ⋅ s e n ( 23,83 ° )

u A = - 70,34 + 20,40 = - 49,94   m m

v A = - y A ⋅ s e n ( θ m ) + z A ⋅ c o s ( θ m )

v A = - ( - 102 + 25,1 ) ⋅ s e n ( 23,83 ° ) + 50,5 ⋅ c o s ( 23,83 ° )

v A = 31,07 + 46,19 = 77,26   m m

Passo 6

Calcular a tensão relativa aos eixos u e v

σ A = M u ⋅ v A I u - M v ⋅ u A I v

σ A = 1212   ⋅ 0,07726 8,362 × 10 - 6 - 2744 ⋅ - 0,04994 1,488 × 10 - 6

σ A = 11,12 + 92,09 = 103,21   M P a

Resposta

σ A = 103,21   M P a

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