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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 114

Mostre que a energia total E de um satélite da Terra de massa m que descreve uma órbita elíptica é E = G M m / ( r A + r P ) , onde M é a massa da Terra e r A e r P representam, respectivamente, as distâncias máxima e mínima da órbita ao centro da Terra. (Considere que a energia potencial gravitacional de um satélite foi definida de modo a se anular a uma distância infinita da Terra.)

Passo 1

Fala aí, pessoal. Beleza? Bora fazer mais uma questão de Dinâmica. Primeiro, temos que encontrar a velocidade no perigeu. Para isso, vamos primeiro utilizar a relação de conservação de momento angular, dada por:

r A m v A = r P m v P v A = r P r A v P             ( 1 )

Em seguida, vamos utilizar a conservação de energia, neste caso, temos:

1 2 m v P 2 - G M m r P = 1 2 m v A 2 - G M m r A             ( 2 )

Com isso, a gente ficou com um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Bora substituir a equação ( 1 ) na equação ( 2 ) . Fica assim:

1 2 m v P 2 - G M m r P = 1 2 m v A 2 - G M m r A 1 2 m v P 2 - G M m r P = 1 2 m r P r A v P 2 - G M m r A

Fazendo algumas manipulações algébricas, temos:

1 - r P r A 2 v P 2 = 2 G M 1 r P - 1 r A r A 2 - r P 2 r A 2 v P 2 = 2 G M   r A - r P r A r P r A 2 - r P 2 = r A - r P r A + r P   v P 2 = 2 G M r A + r P r A r P

Passo 2

Agora que encontramos a velocidade no perigeu, vamos utilizar a relação de energia total do satélite aplicada no ponto P , temos:

E = T P + V P E = 1 2 m v P 2 - G M m r P

Substituindo a velocidade no perigeu, temos:

E = 1 2 2 G M m r A + r P r A r P - G M m r P E = G M m r A r P r A + R P - 1 r P E = G M n r A - r A - v P r P r A + r P E = - G M m r A + r P

É isso, galerinha. Conseguimos provar o que o enunciado nos pediu. Bora praticar mais!

Resposta

E = - G M m r A + r P

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