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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 43

O motor transmite 40   kW quando está girando a taxa constante de 1350   rpm em A . Esse carregamento é transmitido ao eixo de aço B C do ventilador pelo sistema de correia e polia mostrado na figura. Determine, com aproximação de múltiplos de 5   mm , o menor diâmetro desse eixo se a tensão de cisalhamento admissível para o aço for τ a d m = 84   MPa .

Passo 1

Um motor transmite 40  kW de potência sob frequência 1350   rpm a uma polia em A . A polia está ligada a outra em B , acoplada ao eixo de aço B C .

A tensão no eixo B C não pode ultrapassar τ a d m = 84   MPa . Vamos precisar da fórmula da torção:

τ = T   r J

Características do conjunto:

  • Diâmetro do eixo em B C : d . (Desconhecido!)
  • Momento polar de inércia do eixo em B C : J = π d 4 / 32 .
  • Raio da polia em A : r A = 100   mm .
  • Raio da polia em B : r B = 200   mm

Queremos saber qual diâmetro d do eixo B C deve ter para que a tensão não ultrapasse a tensão máxima τ a d m = 84   MPa ! E a questão pede pra definirmos o valor com aproximação de múltiplos de 5   mm .

Primeiro precisamos saber qual é o torque no eixo B C

Passo 2

Na transmissão de potência, sabemos que o torque está relacionado à frequência da seguinte maneira:

P = 2 π T f

A frequência do motor é f A = 1350   rpm . A polia A vai girar com f A mesmo (diretamente acoplada). Mas é essa a frequência f B com que a polia B gira? Não! Porque as polias tem raios diferentes!

Vamos achar f B .

A correia que liga as polias se move a uma velocidade constante. É a velocidade tangencial v ! Essa aí é constante nas duas polias. O que muda é a velocidade angular em cada polia, porque depende do raio!

Começamos escrevendo o óbvio do que falamos antes:

v A = v B

E sabemos que a velocidade na borda da polia ( v ) está relacionada à velocidade angular ( ω ) da seguinte maneira:

v = ω r

Então ficamos com:

v A = v B       →         ω A r A = ω B r B

E podemos colocar isso aí como uma relação de frequências:

ω = 2 π f       →         2 π f A r A = 2 π f B r B

f B = r A r B f A

Só calcular agora:

f B = 100 200 ⋅ 1350 60   rev /s

f B = 11,25   rev/s

Ótimo, agora podemos calcular o torque no eixo B C .

Passo 3

Daqui pra frente é só conta! Vamos usar a fórmula da transmissão de potência:

P = 2 π T f       →         40   kW = 2 π T ⋅ 11,25   rev/s

T = 565,884   Nm

Passo 4

Agora temos como achar o diâmetro para aguentar a tensão admissível segundo o torque T :

τ = T   r J       →         84   MPa = 565,884   Nm ⋅   d / 2   π d 4 / 32

d = 32,49   mm

Aproximando com múltiplos de 5   mm :

d = 35   mm

Resposta

Diâmetro do eixo B C : d = 35   mm .

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