Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 32
O eixo de transmissão de um automóvel é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível . Se o diâmetro externo do eixo for e o motor transmitir ao eixo quando estiver girando a , determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo.
Passo 1
Fala! Tá bem?
Não se assusta com a história do carro. O que a gente tem aqui é apenas um eixo que transmite uma potência sob frequência e queremos encontrar a espessura da parede do eixo.
A tensão de cisalhamento no eixo não pode ultrapassar . E a gente quer saber qual é a expessura desse tubo que suporta essa potência sem ultrapassar essa tensão.
Vamos precisar da fórmula da torção para ter uma expressão para a tensão aplicada nesse cara e comparar com a tensão máxima:
Reunindo as características geométricasdo desse eixo, temos:
- Raio externo: .
- Espessura: . (Desconhecido! É o que a gente quer encontrar)
- Raio interno: .
- E como temos um tubo, o momento de inércia polar é dado por:
Para ajudar nas contas, podemos primeiro achar (Raio interno) necessário e depois calcular , a expessura:
Para isso, primeiro precisamos descobrir qual é o torque atuando no eixo. Bora!
Passo 2
Cara, repara que ele nos deu uma potência e uma frequência, isso é uma dica para gente lembrar de transmissão de potência.
Na transmissão de potência, sabemos que o torque está relacionado com a frequência da seguinte maneira:
Temos
Repara que a gente dividiu nossa frequência por para sairmos de e irmos para , unidade que pode ser usada na nossa fórmulinha.
Então podemos já achar o torque atuando nesse eixo usando esses dados na nossa fórmulinha:
Isolando , encontramos:
Passo 3
Agora vamos ver qual raio interno pode aguentar a tensão admissível segundo esse torque. Repara na fórmula da tensão:
Percebe que quanto maior maior , então a tensão máxima acontece no ponto da seção mais longe do centro, ou seja, na borda do tubo! Essa tensão que deve ser igual a nossa tensão admissível para que o tubo resista ao torque. Logo, vai ser o raio externo do nosso tubo.
Assim a tensão máxima vai ocorrer na distância . (borda do tubo). Podemos usar a fórmula da torção para achar o valor que momento polar de inércia o eixo deve ter:
Passo 4
Aí percebe que a gente tem a expressão de :
E o valor de que é . Então vamos igualar essas duas coisas e achar , já que temos :
Substituindo :
Passo 5
Só mais uma continha para achar a espessura:
Resposta
Espessura: .