Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 133
Depois de nivelar um lote, um construtor coloca quatro estacas para indicar os cantos da base para uma casa. Para prover uma base nivelada firme, o construtor coloca um mínimo de 75 mm de brita abaixo da base. Determine o volume de brita necessário e a coordenada do centroide do volume de brita. (Dica: o fundo da brita é um plano inclinado, que pode ser representado pela equação .)
Passo 1
As constantes para a equação do plano da brita podem ser encontradas fazendo:
E, substituindo esses valores na equação, temos:
Agora, para:
E, substituindo esses valores na equação, temos:
E, agora para:
E, substituindo esses valores na equação, temos:
Então, a equação será:
Passo 2
Dessa forma, sabemos relacionar o centro de massa com o volume através da seguinte equação:
E, o elemento diferencial de volume será dado por:
Então, substituindo o valor de encontrado no passo 1, temos:
E, como nesse caso, temos , a primeira equação do passo 2 se torna:
Resolvendo primeiro a parte referente ao volume, temos:
Resolvendo a integral em , temos:
Substituindo os limites de integração:
E, resolvendo a integral em :
Substituindo os limites de integração:
Passo 3
Agora vamos calcular a segunda parcela da primeira equação do passo 2:
Resolvendo a integral em , temos:
Substituindo os limites de integração:
Agora, integrando em :
E, substituindo os limites de integração, temos:
Agora, substituindo esses valores na primeira equação do passo 2, temos:
Isolando temos: