Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 126
Determine o centróide do volume obtido pela rotação da área sombreada da figura sobre o eixo .
Passo 1
Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos notar é que como o sólido vai rotacionar sobre o eixo com aquela área, formando um parabolóide, temos que e . Então, do enunciado, temos que a equação da curva é:
Precisamos descobrir o valor de em função dos parâmetros da curva, então para temos o raio máximo do parabolóide que chamaremos de , então a equação se torna:
Agora, como já vimos nessa seção do livro, o elemento diferencial de volume de um disco qualquer de raio e espessura é dado por:
Agora, precisamos encontrar a relação entre o raio do cone e a coordenada , substituindo o valor encontrado de e chamando de temos:
Passo 2
Então podemos reescrever a equação para o volume diferencial como:
Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:
Resolvendo as integrais, temos:
Substituindo os limites de integração:
Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:
Passo 3
Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada :
Então, substituindo o valor de e :
Resolvendo a integral, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de encontrado no passo 1:
E, isolando da equação, temos: