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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 44

Um orifício de 75 mm de raio é cortado em um disco uniforme de raio de 200 mm, que é preso a um pino sem fricção em seu centro geométrico 0. Determine (a) o período de pequenas oscilações do disco, (b) o comprimento de um pêndulo simples que tem o mesmo período.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a) o período de pequenas oscilações do disco, (b) o comprimento de um pêndulo simples que tem o mesmo período

Equação do movimento

Σ M 0 = Σ M 0 e f f : + - m H g ( 0.1 ) s i n ⁡ θ = I - D θ - I H θ ¨ - ( 0 . l ) 2 m H θ ¨

m D = ρ t π R 2 & = ( ρ t π ) ( 0.2 ) 2 = ( 0.04 ) π ρ t

m H = ρ t π r 2 = ( ρ t π ) ( 0.075 ) 2 = ( 0.005625 ) π ρ t

Passo 2

A inércia é dada por:

I D = 1 2 m D R 2 = 1 2 ( 0.04 π ρ t ) ( . 2 ) 2 = 800 × 10 - 6 π ρ t

I H = 1 2 m H r 2 = 1 2 ( 0.005625 π ρ t ) ( 0.75 ) 2 = 15.82 × 10 - 6 π ρ t

Pequenos ângulos s i n ⁡ θ = θ

800 × 10 - 6 π - 15.82 × 10 - 6 π - ( 0.1 ) 2 ( 0.005625 π ) ρ f θ ¨ + ( 0.005625 ) π ρ f ( 9.81 ) ( 0.1 ) θ = 0

727.9 × 10 - 6 θ ¨ + 5.518 × 10 - 3 θ = 0

Passo 3

(a) frequência natural e período

ω n 2 = 5.518 × 10 - 3 727.9 × 10 - 6 = 7.581

ω n = 2.753 r a d / s

τ n = 2 π ω n

τ n = 2 π 2.753 = 2.28 s

Passo 4

(b) Comprimento do período de um pêndulo simples

τ n = 2 π l g

l = τ n 2 π 2 g

l = ( 2.753 ) 2 π 2 9.81 m / s 2

l = 1.294 m

Resposta

(a)   τ n = 2 π 2.753 = 2.28 s

(b)   l = 1.294 m

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