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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 8

Resolva o Problema 18.7, supondo que o paralelepípedo retangular sólido foi substituído por um oco consistindo de seis placas de metal finas soldadas entre si.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine que o paralelepípedo retangular sólido foi substituído por um oco consistindo de seis placas de metal finas soldadas entre si.

Corpo diagonal

d = a 2 + ( 2 a ) 2 + a 2 = 6 a ω = ω d ( - a i + 2 a j - a k ) = - ω 6 i + 2 ω 6 j - ω 6 k

Área tota

2 a 2 + 2 a 2 + 2 a 2 = 10 a 2

Passo 2

Para cada placa quadrada

m ' = 1 10 m I x = 1 12 m ' a 2 + m ' a 2 = 13 12 m ' a 2 = 13 120 m a 2 I y = 1 6 m ' a 2 = 1 60 m a 2 I z = I x = 13 120 m a 2

Para cada placa paralela ao plano yz

m ' = 1 5 m I x = 1 12 m ' a 2 + ( 2 a ) 2 = 5 12 m ' a 2 = 1 12 m a 2 I y = 1 12 m ' a 2 + m ' a 2 2 = 1 3 m ' a 2 = 1 15 m a 2 I z = 1 12 m ( 2 a ) 2 + m ' a 2 2 = 7 12 m ' a 2 = 7 60 m a 2

Passo 3

Para cada placa paralela ao plano xy

m ' = 1 5 m I x = 1 12 m ' ( 2 a ) 2 + m ' a 2 2 - 7 12 m ' a 2 = 7 60 m a 2 I y = 1 12 m ' a 2 + m ' a 2 2 = 1 3 m ' a 2 = 1 15 m a 2 I z = 1 12 m ' a 2 + ( 2 a ) 2 = 5 12 m ' a 2 = 1 12 m a 2

Momentos totais de inércia

I x = 2 13 120 + 1 12 + 7 60 m a 2 = 37 60 m a 2 I y = 2 1 60 + 1 15 + 1 15 m a 2 = 3 10 m a 2 I 2 = 2 13 120 + 7 60 + 1 12 m a 2 = 37 60 m a 2

Passo 4

(a) H C = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k = m a 2 ω 60 6 ( - 37 i + 36 j - 37 k )

H G = m a 2 ω 60 6 ( 37 ) 2 + ( 36 ) 2 + ( 37 ) 2 = 0.43216 m a 2 ω

H G = 0.432 m a 2 ω

(b) H G ⋅ ω = m a 2 ω ( 60 ) ( 6 ) ( - 37 i + 36 j - 37 k ) ⋅ ( - i + 2 j - k ) = 0.40556 m a 2 ω 2

c o s ⁡ θ = H G ⋅ ω H G ω = 0.40556 0.43216 = 0.93844

θ = 20.2 ∘

Resposta

a H G = 0.432 m a 2 ω

(b) θ = 20.2 ∘

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