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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 94

Uma partícula de massa m descreve uma cardioide r = r 0   (1 cos θ /2) sob uma força central F voltada para o centro de força O. Usando a Eq. (12.37), mostre que F é inversamente proporcional ao quadrado da distância r da partícula ao centro de força O.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente ), mostre que F é inversamente proporcional ao quadrado da distância r da partícula ao centro de força O.

Temos d 2 u d θ ² + u = F m h 2 u ²

Onde: u = 1 r e m h 2 = c o n s t a n t

F × u 2   d 2 u d   θ ² + u  

Agora: u = 1 r = 2 r 0 1 1 + c o s   θ  

Então: d u d θ = d d θ 2 r 0 1 1 + c o s   θ = 2 r 0 s i n   θ ( 1 + c o s   θ ) ²

E d 2 u d θ ² = 2 r 0 c o s   θ 1 + c o s   θ 2 - s i n θ   [ 2 1 + c o s θ ] ( - s i n θ ) ( 1 + c o s θ )

= 2 r 0 1 + c o s θ + s i n ² θ ( 1 + c o s θ ) ³ = 2 r 0 1 1 + c o s   θ 2 + 1 - c o s ² θ 1 + c o s   θ 3

= 2 r 0 2 - c o s θ ( 1 + c o s θ ) ² = 2 r 0 r 0 2 r ² 2 - ( 2 r r 0 - 1 ) = r 0 2 r ² 3 - 2 r r 0

Então: F × 1 r ² r 0 2 r ² 3 - 2 r r 0 + 1 r = 3 2 r 0 2 r 4

Resposta

a) F × 1 r 4

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