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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 188

A superfície parcial da came é uma espiral logarítmica r = 40 e 0,05 θ   m m , onde θ é dado em radianos. Se a came gira a uma velocidade angular constante de θ ˙ = 4   r a d / s , determine as intensidades da velocidade e aceleração do ponto na came que contata a barra seguidora no instante que θ = 30 ° .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as intensidades da velocidade e aceleração do ponto na came que contata a barra seguidora no instante que θ = 30 ° = π 6 .

Temos que:

r = 40 e 0,05 θ

r ˙ = d r d t

r ˙ = d d t 40 e 0,05 θ

r ˙ = 0,05 40 e 0,05 θ θ ˙

r ˙ = 2 e 0,05 θ θ ˙

Para descobrir r ¨ , temos que derivar r ˙ , porém temos que aplicar a regra do produto, pois temos uma função com θ multiplicando θ ˙ :

d r ˙ d t = d d t 2 e 0,05 θ θ ˙

r ¨ = 2 e 0,05 θ d θ ˙ d t + 0,05 2 e 0,05 θ θ ˙ d θ d t

r ¨ = 2 e 0,05 θ θ ¨ + 0,1 e 0,05 θ θ ˙ 2  

Passo 2

Temos que θ = 30 ° = π 6 e θ ˙ = 4   r a d / s , logo:

θ ¨ = d θ ˙ d t

θ ¨ = 0   r a d / s 2

Passo 3

Agora vamos substituir os valores:

r = 40 e 0,05 π 6

r = 41,061   m m

r ˙ = 2 e 0,05 π 6 ( 4 )

r ˙ = 8,2122   m m / s

E:

r ¨ = 2 e 0,05 π 6 ( 0 ) + 0,1 e 0,05 π 6 ( 4 ) 2

r ¨ = 1,64244   m m / s 2

Queremos:

v = v r 2 + v θ 2

E:

a = a r 2 + a θ 2

Passo 4

Sabemos que:

v r = r ˙ = 8,2122   m m / s

v θ = r θ ˙

v θ = ( 41,061 ) ( 4 )

v θ = 164,24   m m / s

A magnitude da velocidade será:

v = 8,2122 2 + 164,24 2

v = 164   m m / s

Passo 5

Para a aceleração, teremos que a componente a r é:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a r = 1,64244 - 41,061 4 2

a r = - 655,33   m m / s 2  

A componente a θ é dada por:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a θ = 41,061 0 + 2 ( 8,2122 ) ( 4 )

a θ = 65,6976   m m / s 2

Logo:

a = - 655,33 2 + 65,6976 2

a = 659   m m / s 2

Resposta

v = 164   m m / s

a = 659   m m / s 2

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