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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 26

Uma partícula se move com v = constante ao longo da curva r = k(1 + cos θ) (uma cardioide). Encontre:

r ¨ ∙ e r = a ∙ e r ,   a   e   θ ˙

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Quando uma partícula se move ao longo da curva:

r = k 1 + cos ⁡ θ

Daí, temos que:

r ˙ = - k θ ˙ s e n   θ   e   r ¨ = - k θ ˙ 2 cos ⁡ θ + θ ¨ s e n   θ

Agora, o vetor velocidade em coordenadas polares é [veja a Eq. 1,97 na página 28]:

v = r ˙ e r + r θ ˙ e θ

= > v 2 = r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 = k 2 θ ˙ 2 s e n 2 θ + k 2 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ θ ˙ 2 =

= k 2 θ ˙ 2 2 + 2 cos ⁡ θ = v 2

Como v = constante teremos que:

θ ˙ = 2 k 2 θ ˙ 2 1 + cos ⁡ θ 2 k 2 ( 1 + cos ⁡ θ ) = v 2 2 k 2 ( 1 + cos ⁡ θ )

Diferenciando e usando a expressão de r ˙ , temos:

θ ¨ = v 2 s e n   θ 4 r 2 = v 2 s e n   θ 4 k 2 1 + cos ⁡ θ 2

O vetor aceleração [veja a Eq. 1,97 na página 28]:

a = r ¨ - r θ ˙ 2 e r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ e θ

Daí temos que:

a ∙ e r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - k θ ˙ 2 cos ⁡ θ + θ ¨ s e n   θ - k 1 + cos ⁡ θ θ ˙ 2 =

= - k θ ˙ 2 2 cos ⁡ θ + 1 - cos 2 ⁡ θ 2 1 + cos ⁡ θ + 1 = - 3 2 k θ ˙ 2 1 + cos ⁡ θ

Ou ainda:

a ∙ e r = - 3 v 2 4 k

De forma similar, temos que:

a ∙ e θ = - 3 v 2 4 k s e n   θ 1 + cos ⁡ θ = > a = a ∙ e r 2 + a ∙ e θ 2 = 3 v 2 4 k 2 1 + cos ⁡ θ

Resposta

Ver passo a passo.

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