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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 39

Um plano passa através de três pontos x , y , z = ( 1,0 , 0 ) , ( 0,2 , 0 ) , ( 0,0 , 3 ) . (a) Encontre um vetor unitário perpendicular ao plano. (b) Determine a distância do ponto (1, 1, 1) até o ponto mais próximo do plano e as coordenadas do ponto mais próximo.

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra última questão do nosso capítulo!

Letra (a)

Bem pessoal, primeiramente vamos denotar A = 1,0 , 0 ; B = 0,2 , 0 ; C = ( 0,0 , 3 ) . Então A B - = - 1,2 , 0 ;   A C - = - 1 , 0 , 3 e A B - × A C - = ( 6 , 3 , 2 ) .

Qualquer vetor perpendicular ao plano ( A B C ) deve ser paralelo a A B - × A C - , logo o veto unitário perpendicular ao plano (ABC) é:

N = ( 6 7 , 3 7 , 2 7 )

Passo 2

Letra (b)

Para o item (b) iremos denotar D = ( 1,1 , 1 ) e H ( x , y , z ) sendo o ponto no plano ( A , B , C ) mais próximo de H . Então D H - = ( x - 1 , y - 1 , z - 1 ) é paralelo ao N dado no item (a), então:

x - 1 y - 1 = 6 3 = 2

e

x - 1 z - 1 = 6 2 = 3

Mais longe, A H - = ( x - 1 , y , z ) é perpendicular a N , então temos:

6 x - 1 + 3 y + 2 z = 0

Agora, resolvendo essas três equações, encontramos:

H = x , y , z = ( 19 49 , 34 49 , 39 49 )

D H = 5 7

E assim a gente finaliza mais uma questão, te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a)

N = ( 6 7 , 3 7 , 2 7 )

Letra (b)

D H = 5 7

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