Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 2

Uma partícula de raio m tem seu movimento restrito sobre a superfície de uma esfera de raio R por uma força aplicada F θ , Φ . Escreva a equação de movimento.

Passo 1

Faaala meu povo, bora iniciar mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente pelo o enunciado da questão temos que como a partícula é restrita a se mover na superfície de uma esfera de raio, usaremos as coordenadas esféricas, belezinha?

Onde a força resultante agindo sobre a partícula será dada como:

F → n e t = F → θ e → θ + F → Φ e → Φ

Aplicando a 2º lei de Newton temos:

F → n e t = m r → ¨

Onde r → é o vetor posição que define a superfície da esfera.

r → = R e → r

Como R é uma constante vamos ficar com:

r → ¨ = R e → ¨ r

Passo 2

Para nosso próximo passo vamos relembrar das transformações esféricas-cartesianas.

e → r = ​ e → x s i n θ c o s ϕ + e → y ​ s i n θ s i n ϕ + e → r c o s θ

e → θ = ​ e → x s i n θ c o s ϕ + e → y ​ cos ⁡ θ s i n ϕ - e → r sin ⁡ θ

e → Φ = ​ - e → x s i n ϕ + e → y ​ cos ⁡ ϕ

Assim, fazendo a 1º derivada, temos:

e → ˙ r = e → x [ - ϕ ˙ ​ s i n ( θ ) s i n ( ϕ ) + θ ˙ c o s ( θ ) c o s ( θ ) ]

Φ

Por substituição usando e → θ e e → Φ , teremos:

  e → ˙ θ =   e → Φ Φ ˙ sin ⁡ θ + e → θ θ ˙

Tomando a 1ª derivada para os outros 2 vetores temos:

e → ˙ θ =   - e → r θ ˙ + e → Φ Φ ˙ cos ⁡ θ

r → ˙ Φ =   - e → r Φ ˙ sin ⁡ θ - e → θ Φ ˙ cos ⁡ θ

Fazendo a 2ª derivada para e → r :

e → ¨ r = e → r Φ ˙ sin 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + e → θ θ ¨ - Φ 2 ˙ sin ⁡ θ cos ⁡ ( θ ) + e → Φ 2 θ ˙ Φ ˙ cos ⁡ θ + Φ ¨ sin ⁡ ( θ )

Como a força resultante é dada por:

F → n e t = F → θ e → θ + F → Φ e → Φ

Portanto a gente vai ter:

F θ = m R θ ¨ - Φ 2 ˙ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

F Φ = m R 2 θ ˙ Φ ˙ cos ⁡ θ ⁡ + Φ ¨ sin ⁡ θ

E a gente fica por aqui, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

F θ = m R θ ¨ - Φ 2 ˙ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

F Φ = m R 2 θ ˙ Φ ˙ cos ⁡ θ ⁡ + Φ ¨ sin ⁡ θ

Exercícios de Livros Relacionados

Cada uma das três chatas tem massa de 30 Mg, ao passo que o rebocador tem massa de 12 Mg. À medida que as chatas estão sendo puxadas para frente com uma velocidade constante de 4 m∕s, o rebocador deve
Determine a aceleração do sistema e a tração em cada cabo. O plano inclinado é liso, e o coeficiente de atrito cinético entre a superfície horizontal e o bloco C é ( μ k ) C = 0,2 .
Os dois vagões de cargas A e B têm massa de 10 Mg e 15 Mg, respectivamente. Se eles descem livremente ladeira a baixo quando os freios são aplicados em todas as rodas do vagão A , fazendo-o escorregar
O motor de 3,5 Mg está suspenso por uma viga transversal A B de massa desprezível e é içado por um guindaste que exerce uma força de 40 kN no cabo de içamento. Determine a distância pela qual o motor
O motor de 3,5 Mg está suspenso por uma viga transversal A B de massa desprezível e é içado por um guindaste que dá a ele uma aceleração de 4 m / s 2 quando ele tem uma velocidade de 2 m / s . Determi