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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 74

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o momento fletor no ponto B.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se):

Perceba que a barra está engastada em B , desta forma, teremos duas reações (uma horizontal e uma vertical) mais um momento puro chamado M B .

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta R x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

Temos um carregamento triangular que podemos substituir por uma força pontual com valor igual à média do carregamento vezes o comprimento na qual ele atua:

F c a r r e g = w 0 + 0 2 ⋅ L 2

∑ F y = - F c a r r e g + R y = 0

R y = F c a r r e g = 1 4 ⋅ w 0 ⋅ L

Para o momento, sempre aplicado em A conforme pede o livro.

∑ M A = 0

O momento do carregamento será igual sua força, já calculada e igual a F c a r r e g , vezes o ponto onde ela atua. Esse ponto é o baricentro do triângulo que fica a uma distância de 1/3 da base, representado pela pequena seta vermelha:

Assim essa distância vale:

d = 1 3 ⋅ L 2 = 1 6 ⋅ L

Voltando ao cálculo do momento:

∑ M A = F c a r r e g ⋅ d - M B = 0

M B = F c a r r e g ⋅ d

M B = 1 4 ⋅ w 0 ⋅ L ⋅ 1 6 ⋅ L

M B = 1 24 ⋅ w 0 ⋅ L 2

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = w 0 - w 0 ⋅ 2 x L

Mas agora presta atenção! Essa distribuição vale apenas para o intervalo 0 < x < L / 2 . Quando a gente ultrapassa esse intervalo então o carregamento começa a ser negativo (e não queremos isso certo!?) Queremos que ele fique nulo! Então é só adicionar um termo equivalente, porém, negativo.

w x = w 0 - w 0 ⋅ 2 x L + w 0 ⋅ 2 L ⋅ x - L 2 1

Pronto!

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x ⋅ d x

V x = - ∫ w 0 - w 0 ⋅ 2 x L + w 0 ⋅ 2 L ⋅ x - L 2 1 ⋅ d x

V x = - w 0 ⋅ x + w 0 ⋅ x 2 L - w 0 ⋅ 1 L ⋅ x - L 2 2 + C

Aqui é importante notar que a constante C é igual à força de reação em A que é nula

C = 0

V x = - w 0 ⋅ x + w 0 ⋅ x 2 L - w 0 ⋅ 1 L ⋅ x - L 2 2

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x ⋅ d x

M x = ∫ - w 0 ⋅ x + w 0 ⋅ x 2 L - w 0 ⋅ 1 L ⋅ x - L 2 2 ⋅ d x

M x = - 1 2 ⋅ w 0 ⋅ x 2 + 1 3 ⋅ w 0 ⋅ x 3 L - w 0 ⋅ 1 3 L ⋅ x - L 2 3 + C

A constante C é igual a qualquer momento puro, que somente existe em B portanto pode ser ignorado:

C = 0

M x = - 1 2 ⋅ w 0 ⋅ x 2 + 1 3 ⋅ w 0 ⋅ x 3 L - w 0 ⋅ 1 3 L ⋅ x - L 2 3

Passo 6

Para achar o momento fletor em B basta substituir na equação:

M x = - 1 2 ⋅ w 0 ⋅ x 2 + 1 3 ⋅ w 0 ⋅ x 3 L - w 0 ⋅ 1 3 L ⋅ x - L 2 3

M x = L = - 1 2 ⋅ w 0 ⋅ ( L ) 2 + 1 3 ⋅ w 0 ⋅ ( L ) 3 L - w 0 ⋅ 1 3 L ⋅ L - L 2 3

M x = L = - 1 2 ⋅ w 0 ⋅ L 2 + 1 3 ⋅ w 0 ⋅ L 2 - w 0 ⋅ 1 3 L ⋅ L 2 3

M x = L = - 1 2 ⋅ w 0 ⋅ L 2 + 1 3 ⋅ w 0 ⋅ L 2 - w 0 ⋅ L 2 24

M f l e t o r   e m   B = - 5 24 ⋅ w 0 ⋅ L 2

Resposta

a)

V x = - w 0 ⋅ x + w 0 ⋅ x 2 L - w 0 ⋅ 1 L ⋅ x - L 2 2

M x = - 1 2 ⋅ w 0 ⋅ x 2 + 1 3 ⋅ w 0 ⋅ x 3 L - w 0 ⋅ 1 3 L ⋅ x - L 2 3

b)

M f l e t o r   e m   B = - 5 24 ⋅ w 0 ⋅ L 2

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