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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 173

O pino move-se na fenda curva definida pela lemniscata e pela fenda no braço. Em θ = 30 ° , a velocidade angular é θ ˙ = 2   r a d / s , e a aceleração angular é θ ¨ = 1,5   r a d / s 2 . Determine as intensidades da velocidade e aceleração do pino P nesse instante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as intensidades da velocidade e aceleração do pino P no instante em que θ = 30 ° .

As intensidades são dadas por:

v = v r 2 + v θ 2

a = a r 2 + a θ 2

Nos é dada a equação da posição:

r 2 = 4 sin ⁡ 2 θ

Vamos derivar essa equação dos dois lados:

d d t ( r 2 ) = d d t ( 4 sin ⁡ 2 θ )

2 r d r d t = 4 2 cos ⁡ 2 θ d θ d t

2 r r ˙ = 8 cos ⁡ 2 θ θ ˙

Logo:

r ˙ = 4 cos ⁡ 2 θ θ ˙ r

Agora temos que encontrar a equação para a aceleração:

d d t ( 2 r r ˙ ) = d d t ( 8 cos ⁡ 2 θ θ ˙ )

Note que agora temos que aplicar a regra do produto na derivação pois temos r multiplicando r ˙ , e cos ⁡ 2 θ multiplicando θ ˙ .

A regra do produto é aplicada quando é necessário fazer a derivada do produto de equações.

Logo:

2 1 d r d t r ˙ + r d r ˙ d t = 8 - 2 sin ⁡ 2 θ d θ d t θ ˙ + 8 cos ⁡ 2 θ d θ ˙ d t

2 r ˙ r ˙ + r r ¨ = 8 - 2 sin ⁡ 2 θ θ ˙ θ ˙ + cos ⁡ 2 θ θ ¨

2 r ˙ 2 + 2 r r ¨ = - 16 sin ⁡ 2 θ θ ˙ 2 + 8 cos ⁡ 2 θ θ ¨

Queremos a aceleração dada por r ¨ , logo:

r ¨ = 8 cos ⁡ 2 θ θ ¨ - 16 sin ⁡ 2 θ θ ˙ 2 - 2 r ˙ 2 2 r

Passo 2

Agora que já descobrimos as equações que vamos precisar, é só aplicar os dados do enunciado, ou seja, quando θ = 30 ° , θ ˙ = 2   r a d / s e θ ¨ = 1,5   r a d / s 2 :

r θ = 30 ° = 4 sin ⁡ 60 °

r θ = 30 ° = 1,861   m

r ˙ θ = 30 ° = 4 cos ⁡ ( 60 ° ) ( 2 ) 1,861

r ˙ θ = 30 ° = 2,149   m / s

r ¨ θ = 30 ° = 8 cos ⁡ 60 ° 1,5 - 16 sin ⁡ 60 ° 2 2 - 2 2,149 2 2 1,861

r ¨ θ = 30 ° = - 15,76   m / s 2

Agora temos todos os dados necessários para resolver nosso problema.

Os valores de v r e v θ são dados por:

v r = r ˙

v θ = r θ ˙

Logo:

v r = 2,149   m / s

E:

v θ = ( 1,861 ) ( 2 )

v θ = 3,722   m / s

Os valores de a r e a θ são dados por:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo:

a r = - 15,76 - 1,861 2 2

a r = - 23,20   m / s 2

E:

a θ = 1,861 1,5 + 2 ( 2,149 ) ( 2 )

a θ = 11,39   m / s 2

Passo 3

As magnitudes solicitadas nas questões valem:

v = v r 2 + v θ 2

v = 2,149   2 + 3,722 2

v = 4,3   m / s

E:

a = a r 2 + a θ 2

a = - 23,20 2 + 11,39 2

a = 25,8   m / s 2

DICA IMPORTANTE!!!

Questões desse tipo, que envolvem derivada de vários termos e regra do produto, é importante ter bastante atenção, pois quando erramos um termo, a questão vai toda por água abaixo. Portanto tenha calma e resolva passo a passo.

Resposta

v = 4,3   m / s

a = 25,8   m / s 2

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