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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 124

A placa de aço tem 0,3   m de de espessuva e tem uma densidade de 7850   k g / m 3 . Determine a localização de seu centro de massa. Calcule também as reações no pino e no apoio de rolete.

Passo 1

O problema quer que a gente encontre centro de massa e as reações no pino e no apoio de rolete.

O centro de massa é:

C m = ( x - , y - )

E sabemos que:

y = 2 x

E que:

y - = 2 x 2

Agora, vamos dividir a parte de cima e de baixo, e calcular o centro de massa separadamente, primeiro o de cima:

Em x :

x - = ∫ A x -   d A ∫ A d A = ∫ 0 2 x ⋅ 2 x   d x   ∫ 0 2 2 x   d x

x - = 2 2 5 2 5 2 2 2 3 2 3 2 = 3,2 2,66 = 1,2   m

Agora em y :

y - = ∫ A y -   d A ∫ A d A = ∫ 0 2 2 x 2 ⋅ 2 x   d x   ∫ 0 2 2 x   d x

y - = 2 2 2 2 2 3 2 3 2 = 2 2,66 = 0 , 75   m

Então:

C m 1 = 1,2 ; 0,75   m

Passo 2

Agora vamos calcular o centro de massa inferior, que por ser o triangulo a gente não precisa integrar bastar pegar o valor tabelado, então:

C m 2 = 2 - 2 3 ; - 2 3

C m 2 = 1,33 ; - 0,667   m

Agora:

C m = C m 1 ⋅ A 1 + C m 2 ⋅ A 2 A 1 + A 2

C m = 1,2 ; 0,75 ⋅ 2,667 + 1,33 ;   - 0,667 ⋅ 2 4,667

C m = ( 1,256 ; 0,143 )

Passo 3

Agora vamos calcular as reações. Primeiro em B , para isso vamos usar o momento usando como referência A :

Mas antes, vamos descobrir a força peso:

P = G ⋅ d ⋅ A ⋅ 0,3

P = 9,81 ⋅ ( 7850 ⋅ 4,667 ⋅ 0,3 )

P = 10782   N

Agora sim, vamos para o momento:

∑ M A = 0

P ⋅ C m x - F B ⋅ A B - = 0

10782 ⋅ 1,256 - F B ⋅ 2 2 + 2 2 = 0

F B = 4787,89   N

Agora, em A , usando B como referência:

∑ M B = 0

P ⋅ ( 2 - C m x ) - F A ⋅ A B - = 0

10782 ⋅ 0 , 744 - F A ⋅ 2 2 + 2 2 = 0

F A = 2836,14   N

Resposta

C m = ( 1,256 ; 0,143 )

P = 10782   N

F B = 4787,89   N

F A = 2836,14   N

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