Na posição não esticada as espiras da mola de 1,5   k g estão quase tocando uma na outra, como mostrado na parte (a) da figura. Na posição esticada a força P , proporcional a x , é igual a 900   N quando x = 500   m m . Se a extremidade A da mola é liberada bruscamente, determine a velocidade v A da espira na extremidade A , medida positiva para a esquerda, conforme se aproxima da sua posição não esticada em x = 0 . O que acontece com a energia cinética da mola?

Passo 1

Perceba que é fisicamente impossível que a mola adquira um comprimento menor do que 0,500   m , então quando x = 0 , não pode haver velocidade na mola, e portanto, a energia cinética é nula. Porém, quando x → 0 , ou seja, quando a mola está quase chegando ao seu comprimento-limite, a extremidade A ainda tem velocidade, pois toda a energia potencial da mola de antes se transforma em energia cinética, pela conservação da energia mecânica:

Δ T + Δ V e = 0

T - 0 + 0 - V e = 0

T = V e

Então, vamos calcular V e quando x = 0,500   m :

V e = 1 2 k x 2 = 1 2 P x x 2

V e = 1 2 P x = 1 2 900 0,500

V e = 225   J

Passo 2

Para calcular a energia cinética T quando x → 0 , temos que lembrar que cada pedaço da mola tem que se mover com uma velocidade proporcional à sua distância da extremidade esquerda da mola, ou seja:

v A 0,500 = v ' x '

onde v ' e x ' correspondem a um ponto qualquer da mola. Sabendo disto, podemos escrever a integral que nos dá a energia cinética:

T = 1 2 ∫ v ' 2 d m

No entanto, vimos que:

v ' = x ' 0,500 v A

Além disso, podemos expressar d m como função de d x ' , ao calcular a densidade linear da mola:

d m d x ' = m l = 1,5 0,500 = 3

d m = 3   d x '

Passo 3

Logo, podemos reescrever a integral assim:

T = 1 2 ∫ 0 0,500 x ' 0,500 v A 2 3 d x '

T = 6   v A 2 ∫ 0 0,5 x ' 2 d x '

T = 6   v A 2 0,5 3 3

T = 0,25   v A 2

Porém, lembre-se de que T = V e :

0,25   v A 2 = 225

v A = 30   m / s

Então, quando x → 0 , a velocidade da extremidade A é 30   m / s , mas quando x = 0 , essa velocidade se anula bruscamente, porque a mola não pode se comprimir, então toda a energia cinética se dissipa, em calor, som etc.

Resposta

v A = 30   m / s

A energia cinética se dissipa, em calor, som etc.

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