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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 84

Repita o Problema 3/83, exceto pelo carro estar no topo de uma elevação como mostrado na figura.

Passo 1

Pouca coisa vai mudar em relação ao problema 3 / 83 . Vamos relembrar do diagrama:

A diferença chave está na força resultante: agora a nossa resultante centrípeta (na direção vertical) está apontada para baixo, pois o centro da trajetória circular agora está abaixo do carro:

∑ F x = 0

∑ F y = - m v 2 r

E as somas das forças nas duas direções são as seguintes:

∑ F x = F a t cos ⁡ θ - 0,5 m g + N sen ⁡ θ = 0

∑ F y = - m g + N cos ⁡ θ - F a t sen ⁡ θ = - m v 2 r

Perceba que a única mudança em relação ao problema anterior foi o sinal do termo da direita na soma das forças em y !

Lembrando que F a t = N μ podemos reescrever:

N μ cos ⁡ θ - 0,5 m g + N sen ⁡ θ = 0

m g - N cos ⁡ θ + N μ sen ⁡ θ = m v 2 r

Onde multiplicamos a segunda equação por ( - 1 ) por conveniência.

Passo 2

Vamos resolver esse sistema. Pela primeira equação podemos achar o seguinte:

N = 0,5 m g sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ

E substituindo na segunda equação:

0,5   m g   μ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ + m g = m v 2 r

μ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ = 1 0,5 v 2 g r - 1

E substituindo os valores numéricos (que foram dados no problema 3 / 83 ):

μ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ = - 1,036

E agora podemos reorganizar tudo:

μ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ = - 1,036 sen ⁡ θ - 1,036 μ cos ⁡ θ

sen ⁡ θ μ + 1,036 = cos ⁡ θ ( 1 - 1,036 μ )

tan ⁡ θ = 1 - 1,036 μ μ + 1,036

Passo 3

E agora podemos calcular os dois ângulos usando nossa fórmula:

(a)

μ = 0,2           ⇒       tan ⁡ θ = 0,6414         ⇒         θ = 32,7 °

(b)

μ = 0,4         ⇒       tan ⁡ θ = 0,4078         ⇒           θ = 22,2 °

Pronto!

Resposta

(a) θ = 32,7 ° e (b) θ = 22,2 ° .

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