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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 125

O prisma plástico mostrado é carregado com uma força axial, atuando no ponto D de sua extremidade. Mostrar que as tensões nos pontos A e B   são:

σ A = 3 σ m é d 1 - 2 α                                 e                                   σ B = 3 σ m é d - 1 + 4 α

Onde: α = a / h e σ m é d = P / 1 2 b h .

Passo 1

Nossos objetivos são dois, determinar a máxima tensão e o raio de curvatura, sabemos que a fórmula da tensão é dada por:

σ x = P A - M y I

Precisamos da LN para determinarmos tudo que precisamos, momento fletor, o valor de y e o valor do momento de inércia, com isso podemos seguir o seguinte passo a passo para termos a LN:

  • Vamos dividir em seções mais simples, e numerar elas:

  • As áreas são:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:

  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Com isso teremos que:

y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + A 3 y - 3 A 1 + A 2 + A 3

Substituindo teremos que:

y - = b h 4 .   2 3 h   + b h 4 .   2 3 h b h 4 + b h 4

y - = b h 2 6 + b h 2 6 b h 2 = b h 2 3 b h 2 = b h 2 3 2 b h = 2 3 h  

E assim temos que:

Passo 2

Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

    I = b h 3 72 + b h 3 72 = b h 3 36

    I = b h 3 36

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

E para calculo de momentos fletores temos que:

M = - P   x   h 3 - a

σ A = P A - M y I

σ A = P b h 2 - - P   x   h 3 - a h 3   b h 3 36 = 2 P b h + 12 P h   h 3 - a   b h 3 = 2 P b h + 12 P h 3 - a   b h 2

σ A = 2 P b h + 12 P h 3 - a   b h 2 = 2 P b h + 4 P h b h 2 - 12 P a b h 2 = 2 P b h + 4 P b h - 12 P a b h 2

Sabemos que:

α = a / h

Assim temos que:

σ A = 2 P b h + 4 P b h - 12 P b h a h = 2 P b h + 4 P b h - 12 P b h α

E também sabemos que:

σ m é d = P / 1 2 b h

Assim podemos fazer o seguinte:

σ A = 1 P b h 2 + 2 P b h 2 - 6 P b h 2 α = 3 P b h 2 - 6 P b h 2 α

σ A = 3 σ m é d - 6 σ m é d α

σ A = 3 σ m é d ( 1 - 2 α )

Vendo o ponto B teremos que:

M = - P   x   h 3 - a

σ B = P A - M y I

σ B = P b h 2 - - P   x   h 3 - a - 2 h 3   b h 3 36 = 2 P b h - 24 P h   h 3 - a   b h 3 = 2 P b h - 24 P h 3 - a   b h 2

σ B = 2 P b h - 24 P h 3 - a   b h 2 = 2 P b h - 8 P h b h 2 + 24 P a b h 2 = 2 P b h - 8 P b h + 24 P a b h 2

Sabemos que:

α = a / h

Assim temos que:

σ B = 2 P b h - 8 P b h + 24 P b h a h = 2 P b h - 8 P b h + 24 P b h α

E também sabemos que:

σ m é d = P / 1 2 b h

Assim podemos fazer o seguinte:

σ B = 1 P b h 2 - 4 P b h 2 + 12 P b h 2 α = - 3 P b h 2 + 12 P b h 2 α

σ B = - 3 σ m é d + 12 σ m é d α

σ B = 3 σ m é d ( - 1 + 4 α )

Sendo assim temos que as nossas tensões são dadas por:

σ A = 3 σ m é d ( 1 - 2 α )

σ B = 3 σ m é d ( - 1 + 4 α )

Resposta

σ A = 3 σ m é d ( 1 - 2 α )

σ B = 3 σ m é d ( - 1 + 4 α )

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