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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 4

Um disco homogêneo de massa me raio r é montado no eixo vertical AB. A normal para o disco em G forma um ângulo, β = 25 ∘ com o eixo. Sabendo que o eixo tem uma velocidade angular constante w, determine o ângulo θ formado pelo eixo AB e o momento angular H G do disco em torno de seu centro de massa G.

Passo 1

Use o eixo centroidal principal G x ' , y ' β

Momento de Inércia

I - x ' = I - z = 1 4 m r 2 l - y ' = 1 2 m r 2

Passo 2

Velocidades angulares

ω x ' = - ω s i n ⁡ β ω y ' = ω c o s ⁡ β ω z = 0

Passo 3

Usando Eq (18.10)

H x ' = I - x ' ω x ' = - 1 4 m r 2 ω s i n ⁡ β H y ' = I - y ' ω y ' = 1 2 m r 2 ω c o s ⁡ β H 3 = I - z ω z = 0

Temos

H G = H x i ' + H y ' j ' + H z k

Em que i ' , j ' , k são vetores unitários ao longos dos eixos x ' y ' z

H G = - 1 4 m r 2 ω sin ⁡ β i ' + 1 2 m r 2 ω cos ⁡ β j '                               ( 1 ) H G = - 1 4 m r 2 ω - s i n ⁡ β i ' + 2 c o s ⁡ β j '

Passo 4

Da eq (3.24)

H G ⋅ ω = H G ∣ ω c o s ⁡ θ                                              

c o s ⁡ θ = H G ⋅ ω H G ω (2)

Mas

H G ⋅ ω = 1 4 m r 2 ω - s i n ⁡ β i ' + 2 c o s ⁡ β j ' ⋅ ω j

observa-se que

i ' ⋅ i = - s i n ⁡ β  and  j ' ⋅ j = c o s ⁡ β

H G ⋅ 0 = 1 4 m r 2 ω 2 s i n 2 ⁡ β + 2 c o s 2 ⁡ β = 1 4 m r 2 ω 2 1 + c o s 2 ⁡ β (3)

Além disso

H G ω = 1 4 m r 2 ω 2 s i n 2 ⁡ β + 4 c o s 2 ⁡ β = 1 4 m r 2 ω 2 1 + 3 c o s 2 ⁡ β (4)

Substituindo as equações (3) e (4) na (2)

c o s ⁡ θ = 1 + c o s 2 ⁡ β 1 + 3 c o s 2 ⁡ β

Para  β = 25 ∘ c o s ⁡ θ = 0.9786 θ = 11.88 ∘

Resposta

θ = 11.88 ∘

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