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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 86

Uma placa semicircular uniforme de raio de 120 mm é articulada em A e B a um elevis que gira com uma velocidade angular constante ω em torno de um eixo vertical. Determine o valor de ω para o qual a placa forma um ângulo β = 50 ∘ com o eixo x horizontal.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine o valor de ω para o qual a placa forma um ângulo

β = 50 ∘ com o eixo x horizontal.

Momentos e produtos da inércia

Usamos os eixos C x ' y ' z como mostrado

Notamos que I x '  e  I y ' são metade daqueles para uma placa circular, e assim é a massa m. Por isso,

I x ' = 1 4 m r 2 I y ' = 1 2 m r 2

Por causa da simetria, todos produtos da inércia são iguais a zero

I x ' y ' = I y ' z = I z x ' = 0

Passo 2

Momento angular sobre C

H C = I x ' ω x i ' + I y ' ω y j ' = 1 4 m r 2 ( - ω s i n ⁡ β ) i ' + 1 2 m r 2 ( ω c o s ⁡ β ) j = 1 4 m r 2 ω - s i n ⁡ β i ' + 2 c o s ⁡ β j ' '

Uma vez que C é um ponto fixo, use a eq (18.28)

Σ M C = H C C x ' y ' z ' + Ω × H C = 0 + ω j × H C

Ou uma vez que j = - i ' s i n ⁡ β + j ' c o s ⁡ β

Σ M C = ω - i ' s i n ⁡ β + j ' c o s ⁡ β × 1 4 m r 2 ω - s i n ⁡ β i ' + 2 c o s ⁡ β j ' = 1 4 m r 2 ω 2 ( - 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β k + c o s ⁡ β s i n ⁡ β k )

Σ M C = - 1 4 m r 2 ω 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β k (1)

Passo 3

Fazendo o somatório do momento em C

Σ M C = - m g x - c o s ⁡ β k = - m g 4 r 3 π c o s ⁡ β k (2)

Equação (1) e (2)

1 4 m r 2 ω 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β = 4 m g r 3 π c o s ⁡ β

ω 2 s i n ⁡ β = 16 3 π g r = 16 3 π 9.81 m / s 2 0.12 m

ω 2 s i n ⁡ β = 138.78 s - 2 (3)

Deixe β = 50 ∘ na eq(3)

ω 2 = 138.78 s - 2 sin ⁡ 50 ∘ = 181.17 s - 2

ω = 13.46 r a d / s

Resposta

ω = 13.46 r a d / s

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