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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 53

Resolva o Problema 7.29, utilizando o círculo de Mohr e assumindo que a solda forma um ângulo de 60° com a horizontal.

Passo 1

Tá legal! Nesse exercício nós vamos esboçar o círculo de Mohr para o estado de tensão dado e depois rotacionar o elemento de 60°, ou seja, percorrer 120° no círculo, para encontrar o plano desejado e fazer com que a tensão de cisalhamento seja zero nesse plano. Fazendo isso conseguimos encontrar a tensão de cisalhamento pedida na letra (a).

Depois, para a letra (b), vamos encontrar o raio do círculo, ainda com o auxílio do desenho feito para depois encontrar as tensões principais correspondentes.

Passo 2

Então vamos lá! Vamos começar escrevendo as tensões que temos de acordo com o elemento dado no enunciado, então teremos:

σ x = 12   M P a

σ y = 2   M P a

Para esboçar o círculo de Mohr, precisamos também da coordenada do centro, que é dada por:

C : ( σ m e d ; 0 )

E, sabemos que a tensão média é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 12 + 2 2 → σ m e d = 7   M P a

Então as coordenadas para esboçar o círculo de Mohr serão:

X : σ x ; - τ x y = 12 ; - τ x y   M P a

Y : σ y ; τ x y = 2 ; τ x y   M P a

C : σ m e d ; 0 = 7 ; 0   M P a

Com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Beleza! Sabemos que o plano paralelo à solda fica a 60° no sentido anti-horário do plano dado, ou seja, precisamos andar 120° no círculo de Mohr. Fazendo isso, temos que ter tensão de cisalhamento zero, ou seja, devemos estar em cima do eixo “tensão” do círculo de Mohr, dessa forma, devemos ter a seguinte rotação no círculo:

Então, podemos ver que o ponto X deverá ficar em cima do ponto B, onde temos τ = 0 . Dessa forma, a tensão de cisalhamento no estado dado pode ser encontrado através do ângulo de 60° formado no desenho e as tensões σ x e σ y que já foram dadas no enunciado:

t g   6 0 ° = - τ x y σ x - σ y 2

Isolando a tensão de cisalhamento e substituindo os valores conhecidos, teremos:

τ x y = - σ x - σ y 2 t g   6 0 ° = - 12 - 2 2 t g   6 0 °

τ x y = - 8,66   M P a

A letra (a) já era! Bora pra (b).

Passo 4

Agora, para a letra (b), precisamos encontrar as tensões principais, que são dadas por:

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Nós já temos o valor de σ m e d , que vimos lá no passo 2. Então precisamos calcular o valor do raio do círculo. Vamos fazer isso com o auxílio do círculo esboçado no passo 3, onde teremos:

s e n   6 0 ° = - τ x y R

Isolando o R dessa equação e substituindo o valor de τ x y encontrado no passo 3, temos:

R = - τ x y s e n   6 0 ° = - - 8,66 s e n   60 ° → R = 10   M P a

Então, as tensões principais serão:

σ 1 = σ m e d + R = 7 + 10 → σ 1 = 1 7   M P a

σ 2 = σ m e d - R = 7 - 10 → σ 2 = - 3   M P a

Proonto! Finalizamos mais um!

Resposta

a :   τ x y = - 8,66   M P a

b :   σ 1 = 17   M P a

b :   σ 2 = - 3   M P a

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