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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 70

70. Determine

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

Faaala!

Da figura do enunciado, tiramos que:

σ x = 350   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = - 200   M P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o  

τ x y = 500   M P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   1 °   e   3 °   q u a d r a n t e

Queremos as tensões principais, de cisalhamento máximo e normal média. Vamos usar o circulo de mohr para resolver essa.

Passo 2

Para montar o círculo, precisamos de umas coisinhas:

A primeira coisa que temos que fazer é determinar a tensão média σ m e d que vai ser o centro do nosso círculo, através da fórmula abaixo:

σ m e d = σ x + σ y 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, chegamos à:

σ m e d = 350   M P a - 200   M P a 2

σ m e d = 75   M P a  

Depois, o próximo passo é achar a tensão máxima de cisalhamento τ m á x , que vai ser o nosso raio e é dada por:

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocando os valores de cada variável, obtemos nossa tensão máxima como:

τ m á x = 350   M P a - 250   M P a 2 2 + ( 500   M P a ) 2

τ m á x ≅ 570,64   M P a

E a gente acha a coordenada X e a Y :

X = σ x , - τ x y = 350 , - 500

Y = σ y ,   τ x y = - 250,500

Nosso círculo fica:

Passo 3

(a) Queremos as tensões principais. Pelo círcuo, vemos que

σ 1 = σ m á x = σ m e d + τ m á x

σ 1 ≅ 75   M P a + 570,64   M P a

σ 1 ≅ 676   M P a

σ 2 = σ m í n = σ m e d - τ m á x

σ 2 ≅ 75   M P a - 570,64   M P a

σ 2 ≅ - 496   M P a

O próximo passo agora, é determinar o nosso ângulo de estado plano θ p . Pelo círculo, tiramos que

tan ⁡ 2 θ p = τ x y ( σ x - σ y ) / 2 → tan ⁡ 2 θ p = 2 τ x y σ x - σ y

tan ⁡ 2 θ p = 2 ⋅ 500   M P a 300   M P a - ( - 250   M P a )

2 θ p = tan - 1 ⁡ ( 1,8182 )

θ p = 30,6 °   ( a n t i - h o r á r i o )

E o nosso ângulo   θ p 1 que queremos para especificar a orientação do elemento é exatamente igual a   θ p :

θ p 1 = θ p

θ p 1 = 30,6 °

Repara que para o nosso segmento chegar na horizontal do círculo (onde as tensões são principais) ele precisa girar no sentido anti-horário. Por isso nosso elemento tá girado nesse sentido.

E também repara que quando fazemos esse giro, a coordenada X vai parar em σ m á x = σ 1 . Então nossa tensão máxima está na direção do novo eixo x .

Passo 4

(b) Mas olha só que beleza! Esse item pede a tensão de cisalhamento máximo e a tensão normal média. Acontece que já obtemos elas lá no P a s s o   1 , como ferramenta para ajudar a calcular as tensões principais. Não acredita!? Pois olha de volta o P a s s o   1 :

σ m e d = 75   M P a  

τ m á x ≅ 570,64   M P a

Agora só falta determinar o ângulo de cisalhamento θ s , que é dado através da fórmula abaixo:

tan ⁡   2 θ s = σ x - σ y 2 τ x y → tan ⁡   2 θ s = σ x - σ y 2 τ x y

Que você também tira do circulo:

Onde substuindo os valores numéricos pertinentes a cada variável, chegamos à:

tan ⁡   2 θ s = 350   M P a - ( - 250   M P a ) 2 ⋅ 500   M P a

tan ⁡   2 θ s = 0,55

2 θ s = tan - 1 ⁡ 0,55

2 θ s = 28,8 °

θ s = 14,4 °   ( h o r á r i o )  

E o nosso ângulo   θ s 1 que queremos para especificar a orientação do elemento é exatamente igual a   θ s :

θ s 1 = 14,4 °

Pra não perder a viagem, vamos fazer também fazer o esboço de nosso querido elemento né; que vai ter a seguinte aparência:

Repara que para o nosso segmento chegar na vertical do círculo (onde a tensão de cisalhamento é máxima) ele precisa girar no sentido horário. Por isso nosso elemento tá girado nesse sentido.

Resposta

(a)

σ 1 ≅ 676   M P a

σ 2 ≅ - 496   M P a

θ p 1 = 30,6 °

(b)

σ m e d = 75   M P a  

τ m á x ≅ 570,64   M P a

θ s 1 = 14,4 °

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Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) τ y z = 120,7M P a , (b) τ y z = 55,2M P a e (c) τ y z = 0 .
Para o estado de tensão indicado, determine o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é (a) 9k s i e (b) 12k s i .
Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) τ y z = 120,7M P a , (b) τ y z = 55,2M P a e (c) τ y z = 0 .
Para o elemento mostrado, determine o intervalo de valores de τ x y para os quais a tensão de tração máxima é igual ou menor que 60 MPa.
Para o elemento mostrado, determine o intervalo de valores de τ x y para os quais a tensão de cisalhamento máxima no plano da tensão é igual ou menor que 150 MPa.