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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 131

Resolver o P r o b .   4 . 130 , considerando que as deformações medidas são:

ε A = + 175   μ             e               ε B = - 50   μ            

Passo 1

Para essa questão temos dois itens a serem resolvidos, primeiro determinar a força que causa essas deformações nos pontos A e B e o respectivo braço de alavanca que causaria essas deformações.

Para isso temos que saber o seguinte, se temos deformações, temos como calcular tensões pela seguinte fórmula:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

Mas pensa no seguinte, se queremos determinar as cargas que agem na seção, e temos as tensões, podemos pensar da seguinte forma.

  • As tensões vão ser causadas pela carga axial que age na nossa seção, ou seja, a carga P espalhada pela área da seção,
  • E como essa carga P tem um braço de alavanca, ela também vai causar um momento fletor, que também vai contribuir na nossa tensão.

Sendo assim, também podemos escrever as nossas tensões pela seguinte equação.

σ A = P A - M y A I

σ B = P A - M y B I

Tendo essas duas relações, precisamos agora começar a determinar o que temos, sendo assim podemos anotar no próximo passo.

Passo 2

  • Dados do enunciado

    • Pelos dados do enunciado temos que:

    ε A = + 175   μ = 175   .   10 - 6 m m         e               ε B = - 50   μ = - 50   .   10 - 6 m m

    E = 200   G P a = 200000   M P a = 200   .   10 9 N m 2  

  • Dados da seção

    • Sabemos que a nossa seção é dada com as seguintes dimensões.

    A área da seção vai ser feita da seguinte maneira:

    A = 75   x   120 = 9000   m m 2 = 9   .   10 - 3   m 2

    E o momento de inércia é calculado pela seguinte equação:

    I = B H 3 12 = 75   .   120 3 12 = 10800000   m m 4 = 1,08   .   10 - 5   m 5

  • Dados de Y para determinar o cálculo das tensões em A e B.

Sendo assim teremos que:

Calculando as tensões pela deformação, teremos que:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

σ A = 200   .   10 9 175   .   10 - 6 = 35   .   10 6   P a

σ B = 200   .   10 9 - 50   .   10 - 6 = - 10   .   10 6   P a

Analisando o outro grupo de fórmulas, temos que:

σ A = P A - M y A I

σ B = P A - M y B I

Subtraindo uma equação da outra teremos que:

σ A - σ B = P A - M y A I - P A + M y B I = - M y A I + M y B I = - M ( y A - y B ) I

Isolando o momento fletor, teremos que:

σ A - σ B = - M ( y A - y B ) I

M = - I σ A - σ B y A - y B = - 1,08   .   10 - 5 35   .   10 6 - - 10   .   10 6 0,020 - - 0,040 = - 8100   N m

Mas do que adiante determinar o momento se queremos a carga aplicada? Ai basta usarmos o nosso sistema de equações de novo. Mas multiplicamos a primeira a equação por y B   e a segunda por y A , sendo assim teremos que:

σ A y B = P A y B - M y A I y B

σ B y A = P A y A - M y B I y A

Subtraindo uma equação da outra, teremos que:

σ B y A - σ A y B = P A y A - M y B I y A - P A y B + M y A I y B

σ B y A - σ A y B = P A y A - y B

Como o objetivo é determinar a carga, teremos que:

P = σ B y A - σ A y B A y A - y B

P = - 10   .   10 6   .     0,020 - 35   .   10 6   .     ( - 0,040 ) 9   .   10 - 3 0,020 - - 0,040 = 180000   N = 180   k N

E assim resolvemos o nosso item A, que pedia exatamente a carga que foi aplicada, e como o item B pede a distancia que foi aplicada, basta lembrarmos da seguinte fórmula:

M = - P d

O momento já determinamos, sendo assim teremos que:

- 8100   [ N m ] = - 180000 [ m ]   d

d = 8100 180000 = 0,045 m = 45   m m

Como a distancia “a” é de cima para baixo, precisamos fazer uma diferença para determinarmos a distância, sendo assim teremos que:

a = H 2 - d = 120 2 - 45 = 15 m m

Resposta

  1. P = 180   k N

  2. a = 15 m m
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