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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 154

Um elemento de alumínio extrudado com a seção transversal mostrada é submetido ao momento atuante no plano vertical. Determine o maior valor permissível para o momento M 0 do conjugado se a tensão máxima não excede 12 ksi. Dados: I m a x = 0,957   i n 4 , I m i n = 0,427   i n 4 , eixos principais 29,4 °   ↗ e 60,6 °   ↘ .

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício escrevendo os momentos de inércia nas direções u e v , dessa forma, teremos:

M u = M 0 s e n 29,4 ° → M u = 0,491 M 0

M v = M 0 cos ⁡ 29,4 ° → M v = 0,871 M 0

E, pela configuração fornecida no enunciado sabemos que os momentos de inércia máximo e mínimo serão os próprios momentos nas direções u e v , então teremos:

I m a x = I u

I m i n = I v

Agora vamos calcular o ângulo feito com o eixo principal ϕ através de:

tg ⁡ ϕ = I v I u tg ⁡ θ

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g   ϕ = 0,427 0,957 t g 29,4 ° → t g   ϕ = 0,251

ϕ = 14,11 °

Passo 2

Agora nós vamos calcular a distância até a extremidade inferior direita nas direções u e v . Começando pela direção u , temos:

u D = y D c o s 29,4 ° + z D s e n 29,4 °

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

u D = - 0,75 0,871 + ( - 0,75 ) ( 0,491 )

u D = - 1,022   i n

Agora, na direção v , teremos:

v D = z D cos ⁡ 29,4 ° - y D s e n 29,4 °

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

v D = - 0,75 0,871 - ( - 0,75 ) ( 0,491 )

v D = - 0,285 2   i n

Passo 3

Agora podemos calcular a tensão no ponto D através da fórmula 4.58 vista nessa seção, que para os eixos principais resultará em:

σ D = - M v u D I v + M u v D I u = - M v u D I m i n + M u v D I m a x

Substituindo os valores encontrados nos passos 1 e 2 nessa equação, chegamos em:

σ D = - 0,871 M 0 - 1,022 0,427 + 0 , 491 M 0 - 0,2852 0,957

σ D = 2,085 M 0 - 0,1463 M 0 → σ D = 1,939 M 0

Dessa forma, isolando M 0 , teremos:

M 0 = σ D 1,939

Substituindo o valor da tensão admissível fornecida no enunciado, chegaremos em um momento admissível de:

M 0 = 12 1,939 → M 0 = 6,19   k i p . i n

Resposta

M 0 = 6,19   k i p . i n

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