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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo - Ex.

A seção em forma de Z mostrada na figura está submetida a um momento M 0 atuando em um plano vertical. Determine o maior valor admissível do momento M 0 se a tensão máxima não deve ultrapassar 80 MPa. Dados: I m a x = 2,28.10 6   m m 4 , I m i n = 0,23.10 6   m m 4 , eixos principais 25,7 ° ↘ e 64,3 °   ↗ .

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício escrevendo os momentos de inércia nas direções u e v , dessa forma, teremos:

M u = M 0 s e n 64,3 ° → M u = 0,901 M 0

M v = M 0 cos ⁡ 64,3 ° → M v = 0,4336 M 0

E, pela configuração fornecida no enunciado sabemos que os momentos de inércia máximo e mínimo serão os próprios momentos nas direções v e u , então teremos:

I m a x = I v

I m i n = I u

Agora vamos calcular o ângulo feito com o eixo principal ϕ através de:

tg ⁡ ϕ = I v I u tg ⁡ θ

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g   ϕ = 2,28.10 6 0,23.10 6 t g 64,3 ° → t g   ϕ = 20,598

ϕ = 87,22 °

Passo 2

Agora nós vamos calcular a distância até a extremidade nas direções u e v . Começando pela direção u , temos:

u D = y D c o s 64,3 ° + z D s e n 64,3 °

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

u D = ( - 45 ) 0,4336 + ( - 35 ) ( 0,901 )

u D = - 51,05   m m

Agora, na direção v , teremos:

v D = z D cos ⁡ 64,3 ° - y D s e n 64,3 °

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

v D = ( - 35 ) 0,4336 - ( - 45 ) ( 0,901 )

v D = 25,37   m m

Passo 3

Agora podemos calcular a tensão no ponto D através da fórmula 4.58 vista nessa seção, que para os eixos principais resultará em:

σ D = - M v u D I v + M u v D I u = - M v u D I m a x + M u v D I m i n

Substituindo os valores encontrados nos passos 1 e 2 nessa equação, chegamos em:

σ D = - 0,4336 M 0 - 51,05 . 10 - 3 2,28 . 10 6 ( 10 - 12 ) + 0,901 M 0 25,37 . 10 - 3 0,23 . 10 6 ( 10 - 12 )

σ D = 9,71 . 10 3 M 0 + 99,4 . 10 3 M 0 → σ D = 109,11 . 10 3 M 0

Dessa forma, isolando M 0 , teremos:

M 0 = σ D 109,11 . 10 3

Substituindo o valor da tensão admissível fornecida no enunciado, chegaremos em um momento admissível de:

M 0 = 80 . 10 6 109,11 . 10 3 → M 0 = 733,2   N . m

Resposta

M 0 = 733,2   N . m

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