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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 134

A força axial excêntrica P atua no ponto D, que está localizado a 30 m m abaixo da borda superior da barra de aço mostrada. Para P = 90   k N , determinar:

  1. A largura da barra para que a tensão no ponto A seja a máxima;
  2. O correspondente valor da tensão no ponto A.

Passo 1

Para podermos determinar a largura da barra afim de termos a tensão do ponto A máxima, precisamos definir a tensão na barra em função do que temos, sendo assim, temos que lembrar que a tensão na barra tem que ser definida da seguinte maneira.

σ A = P A + M y I

Sabemos que:

M = P e

Em que e é a excentricidade da carga com relação ao centroide da seção. Com isso temos que:

e = d 2 - a

Sabemos também que:

I = B H 3 12 = b d 3 12

A = b   x   d

y = d 2

Substituindo teremos que:

σ A = P b d + P e d 2 b d 3 12

σ A = P b d + 12 P e d 2 b d 3

σ A = P b d + 6 P e d b d 3

σ A = P b d + 6 P ( d 2 - a ) b d 2

σ A = P b d + 6 P d 2 b d 2 - 6 P a b d 2

σ A = P b d + 3 P b d - 6 P a b d 2

σ A = 4 P b d - 6 P a b d 2

σ A = P b 4 d - 6 a d 2

Passo 2

No item a) queremos determinar o valor de “ d ” que causa a máxima tensão em A, sendo assim, se derivarmos em função de d   e igualarmos a zero, teremos o valor de   d que causa a máxima tensão. Sendo assim, teremos que:

d d d σ A = d d d P b 4 d - 6 a d 2 = 0

P b - 4 d 2 + 12 a d 3 = 0

- 4 d 2 + 12 a d 3 = 0

12 a d 3 = 4 d 2

12 a = 4 d

d = 12 a 4 = 3 a

d = 3 a = 3   x   30 = 90 m m

Passo 3

Como queremos a tensão em A nesse momento, teremos que:

σ A = P b 4 d - 6 a d 2

P = 90   k N = 90000   N

b = 25 m m + 25 m m = 50 m m

d = 3 a = 3   x   30 = 90 m m

a = 3 0 m m

σ A = 90000 50 4 90 - 6   .     30 90 2 = 40 N m m 2 = 40   M P a

Resposta

d = 90 m m

σ A = 40   M P a

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