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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 129

Resolver o P r o b   .   4.128 , considerando que a barra vertical é articulada no ponto B, ai invés do ponto A.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar a carga P máxima que pode ser aplicada a nossa seção tanto quando ela for orientada pra baixo, quando ela for orientada pra cima. Sabemos que a tensão pode ser definida pela seguinte equação:

  • Carga orientada pra cima (compressão)

    • σ x = - P A - M y I

  • Carga orientada pra baixo (tração)

σ x = + P A - M y I

Precisamos da LN para determinarmos tudo que precisamos, momento fletor, o valor de y e o valor do momento de inércia, com isso podemos seguir o seguinte passo a passo para termos a LN:

  • Vamos dividir em seções mais simples, e numerar elas:

  • As áreas são:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:

  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Com isso teremos que:

y - = 2 A 1 y - 1 + A 2 y - 2 2 A 1 + A 2

Substituindo teremos que:

y - = 2   .     2000   .     50 + 875   .     12,5 2   .     2000 + 875

y - = 43,3   m m  

E assim temos que:

Passo 2

Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = 2 ( I 1 + A 1 d 1 2 ) + I 2 + A 2 d 2 2

    I = 2 ( 1666667 + 2000   .     6,7 2 ) + 45573 + 875   .     30,8 2

    I = 4388527   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

    • E para calculo de momentos fletores temos que detemrinar a excentricidade, sendo assim teremos que:

  • Momento gerado pela carga para baixo

    • M = - P   x   e

    M = - P   x 40 + 56,7 = - 96,7 P   N m m

  • Momento gerado pela carga para cima

    • M = P   x   e

    M = P   x 40 + 56,7 = 96,7 P   N m m

    Vamos calcular primeiro o caso da carga para cima.

    Substituindo nas tensões teremos que:

    σ x = - P A - M y I

    σ S = - P 4875 - 96,7 P 56,7 P 4388527

    σ I = - P 4875 - 96,7 P - 43,3 P 4388527

    Sabemos que a tensão admissível é dada por:

    σ S = - 2,05   .   10 - 4 P - 1,25   .   10 - 3 P = - 1,455   .   10 - 3 P  

    σ I = - 2,05   .   10 - 4 P + 9,54   .   10 - 4 P = 7,49   .   10 - 4 P

    como o valor de P tem que ser positivo, no superior será compressão e no inferior será tração:

    - 80 = - 1,455   .   10 - 3 P  

    P = 54983   N = 55   k N

    35 = 7,49   .   10 - 4 P

    P = 46729   N = 46,7   k N

    Como queremos a máxima carga que pode ser aplicada, devemos tomar o cuidado de usarmos a menor carga, porque pense da seguinte maneira. Se usarmos a máxima carga, ela irá romper a menor seção, porém se usarmos a menor carga, ela irá manter tanto a maio tensão quanto a menor tensão, sendo assim teremos que:

    P = 46,7   k N

    Vamos calcular agora o caso da carga para baixo.

    Substituindo nas tensões teremos que:

    σ x = + P A - M y I

    σ S = + P 4875 - - 96,7 P 56,7 P 4388527

    σ I = + P 4875 - - 96,7 P - 43,3 P 4388527

    Sabemos que a tensão admissível é dada por:

    σ S = 2,05   .   10 - 4 P + 1,25   .   10 - 3 P = 1,455   .   10 - 3 P  

    σ I = 2,05   .   10 - 4 P - 9,54   .   10 - 4 P = - 7,49   .   10 - 4 P

    Como o valor de P precisa ser positivo, consideraremos a porção superior tracionando e a inferior comprimindo, assim teremos que:

    35 = 1,455   .   10 - 3 P  

    P = 24055   N = 24,05   k N

    - 80 = - 7,49   .   10 - 4 P

    P = 106809   N = 106,8   k N

    Como queremos a máxima carga que pode ser aplicada, devemos tomar o cuidado de usarmos a menor carga, porque pense da seguinte maneira. Se usarmos a máxima carga, ela irá romper a menor seção, porém se usarmos a menor carga, ela irá manter tanto a maio tensão quanto a menor tensão, sendo assim teremos que:

    P = 24,05   k N

    Resposta

  • Carga P quando a carga está orientada para baixo

    • P = 24,05   k N

  • Carga P quando a carga está orientada para cima

P = 46,7   k N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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