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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 133

Resolver o P r o b .   4 . 13 2 , considerando que as deformações medidas são:

ε A = + 35   .   10 - 6 m m m m         e               ε B = - 450.10 - 6 m m m m          

Passo 1

Para essa questão temos dois itens a serem resolvidos, primeiro determinar a força que causa essas deformações nos pontos A e B e o respectivo braço de alavanca que causaria essas deformações.

Para isso temos que saber o seguinte, se temos deformações, temos como calcular tensões pela seguinte fórmula:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

Mas pensa no seguinte, se queremos determinar as cargas que agem na seção, e temos as tensões, podemos pensar da seguinte forma.

  • As tensões vão ser causadas pela carga axial que age na nossa seção, ou seja, a carga P e Q espalhada pela área da seção,
  • E como essa carga P e Q possuem um braço de alavanca, ela também vai causar um momento fletor, que também vai contribuir na nossa tensão.

Sendo assim, também podemos escrever as nossas tensões pela seguinte equação.

σ A = - F A + M y A I

σ B = - F A + M y B I

Tendo essas duas relações, precisamos agora começar a determinar o que temos, sendo assim podemos anotar no próximo passo.

Passo 2

  • Dados do enunciado

    • Pelos dados do enunciado temos que:

    ε A = + 35   .   10 - 6 m m m m         e               ε B = - 450.10 - 6 m m m m    

    E = 200   G P a = 200000   M P a = 200   .   10 9 N m 2  

  • Dados da seção

    • Sabemos que a nossa seção é dada com as seguintes dimensões.

    A área da seção vai ser feita da seguinte maneira:

    A = 5320   m m 2 = 5,32   .   10 - 3   m 2

    E o momento de inércia é calculado pela seguinte equação:

    I = 40,8   .   10 6   m m 4 = 4 , 08   .   10 - 5   m 4

  • Dados de Y para determinar o cálculo das tensões em A e B.

Sendo assim teremos que:

Calculando as tensões pela deformação, teremos que:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

σ A = 200   .   10 9 35   .   10 - 6 = 7   .   10 6   P a

σ B = 200   .   10 9 - 4 50   .   10 - 6 = - 90   .   10 6   P a

Analisando o outro grupo de fórmulas, temos que:

σ A = - F A + M y A I

σ B = - F A + M y B I

Sabemos que:

F = P + Q

M = 0,115 P - 0,115 Q

Substituindo teremos que:

σ A = - P + Q 5,32   .   10 - 3 + ( 0,115 P - 0,115 Q ) ( - 102,5.10 - 3 ) 4,08   .   10 - 5

σ B = - P + Q 5,32   .   10 - 3 + ( 0,115 P - 0,115 Q ) ( 102,5.10 - 3 ) 4,08   .   10 - 5

Sendo assim o nosso sistema será dado por:

7   .   10 6 = - P + Q 5,32   .   10 - 3 + ( 0,115 P - 0,115 Q ) ( - 102,5.10 - 3 ) 4,08   .   10 - 5

- 90   .   10 6 = - P + Q 5,32   .   10 - 3 + ( 0,115 P - 0,115 Q ) ( 102,5.10 - 3 ) 4,08   .   10 - 5

7   .   10 6 = - 187,97 P + 187,97 Q - ( 288,9 1 P - 288,9 1 Q )

- 90   .   10 6 = - 187,97 P + 187,97 Q + ( 288,91 P - 288,91 Q )

7   .   10 6 = - 476,91 P + 100,94 Q

- 90   .   10 6 = 100,94 P - 476,88 Q

Resolvendo o sistema teremos que:

P = 26454   N = 26,5   k N

Q = 194326   N = 194,3   k N

Resposta

P = 26,5   k N

Q = 194,3   k N

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