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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 29

Resolver os P r o b s . 6.5 e 6.9 , usando o círculo de mohr.

Passo 1

Nosso objetivo nesse problema é determinar os planos principais, as tensões principais, a orientação dos planos com o máximo cisalhante e os normais que ocorrem nesse plano com máximo cisalhante, para isso, precisamos determinar as seguintes coisas primeiro:

  • Circulo de mohr
  • Raio do círculo
  • Tensão média

Tendo esses dados, poderemos determinar os nossos objetivos, sendo assim podemos prosseguir.

Sabemos que o nosso elemento é dado pelo seguinte estado de tensões:

Sabemos que em seguida, precisamos lembrar que os nossos eixos são dados por duas retas, uma de tensões cisalhantes, e uma de tensões normais:

E sabemos que se juntarmos a tensão x com a negativa da tensão cisalhante e a tensão y com a positiva da tensão cisalhante, obtemos dos pontos pertencentes ao nosso círculo de mohr, e que são imediatamente opostos. Sendo assim teremos que:

X (sigma_x , - tau_x y) = X (- 40 , - 25)

Y (sigma_y , tau_x y) = Y (80 , 25)

Passo 2

Se ligarmos os pontos, podemos determinar as tensões médias no círculo de mohr:

Sabemos que:

sigma_M é d = (sigma_x + sigma_y)/(2) = (80 - 40)/(2) = (40)/(2) = 20 M P a

Assim podemos determinar também o raio do nosso círculo:

R^2 = 60^2 + 25^2

R = 65

Passo 3

Agora podemos ir pensando os nossos objetivos um por um:

  • Determinar os planos principais

    • Isso podemos ver no nosso círculo da seguinte maneira:

    Sabemos que:

    T g 2 theta_p = (25)/(60)

    2 theta_p = 22,62 °

    theta_p 1 = 11,31 °

    theta_p 1 = 90 - 11,31 ° = 78,7 °

  • Determinar as tensões principais

    • Isso podemos ver no nosso círculo da seguinte maneira:

    Sabemos que:

    sigma_1 = 20 + 65 = 85 M P a

    sigma_2 = 20 - 65 = - 45 M P a

  • Determinar a orientação do plano de tensões cisalhante

    • Essa é bem simples, basta fazer o seguinte:

    theta_S = theta_p + 45 °

    Sendo assim teremos que:

    theta_S = 78,7 ° + 45 ° = 123,7 °

    theta_S = 78,7 ° - 45 ° = 33,7 °

  • Determinar a tensão normal na tensão cisalhante máxima

sabemos que a tensão cisalhante máxima ocorre quando o raio está na vertical, e coordenada desse ponto é dado por:

sigma_M E D , R

sigma_M E D = 20 M P a

tau_M a x = R = 65 M P a

Resposta

theta_p = 11,31 ° e 78,7 °

sigma_1 = 85 M P a

sigma_2 = - 45 M P a

theta_S = 123,7 ° e 33,7 °

tau_M a x = R = 65 M P a -> sigma_M E D = 20 M P a

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