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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 31

Resolver os P r o b s . 6 . 7 e 6.1 1 , usando o círculo de mohr.

Passo 1

Nosso objetivo nesse problema é determinar os planos principais, as tensões principais, a orientação dos planos com o máximo cisalhante e os normais que ocorrem nesse plano com máximo cisalhante, para isso, precisamos determinar as seguintes coisas primeiro:

  • Circulo de mohr
  • Raio do círculo
  • Tensão média

Tendo esses dados, poderemos determinar os nossos objetivos, sendo assim podemos prosseguir.

Sabemos que o nosso elemento é dado pelo seguinte estado de tensões:

Sabemos que em seguida, precisamos lembrar que os nossos eixos são dados por duas retas, uma de tensões cisalhantes, e uma de tensões normais:

E sabemos que se juntarmos a tensão x com a negativa da tensão cisalhante e a tensão y com a positiva da tensão cisalhante, obtemos dos pontos pertencentes ao nosso círculo de mohr, e que são imediatamente opostos. Sendo assim teremos que:

X (sigma_x , - tau_x y) = X (- 80 , - 7 0)

Y (sigma_y , tau_x y) = Y (- 110 , 7 0)

Passo 2

Se ligarmos os pontos, podemos determinar as tensões médias no círculo de mohr:

Sabemos que:

sigma_M é d = (sigma_x + sigma_y)/(2) = (- 110 - 80)/(2) = (- 190)/(2) = - 9 5 M P a

Assim podemos determinar também o raio do nosso círculo:

R^2 = 7 0^2 + 15^2

R = 71,6

Passo 3

Agora podemos ir pensando os nossos objetivos um por um:

  • Determinar os planos principais

    • Isso podemos ver no nosso círculo da seguinte maneira:

    Sabemos que:

    T g 2 theta_p = (7 0)/(15)

    2 theta_p = 77,9 °

    theta_p 1 = 39 °

    theta_p 2 = 90 ° - 39 ° = 51 °

  • Determinar as tensões principais

    • Isso podemos ver no nosso círculo da seguinte maneira:

    Sabemos que:

    sigma_1 = - (95 - 71,6) = - 23,4 M P a

    sigma_2 = - ( 95 + 71,6 ) = - 1 66,6 M P a

  • Determinar a orientação do plano de tensões cisalhante

    • Essa é bem simples, basta fazer o seguinte:

    theta_S = theta_p + 45 °

    Sendo assim teremos que:

    theta_S 1 = 51 ° + 45 ° = 96 °

    theta_S 1 = 51 ° - 45 ° = 6 °

  • Determinar a tensão normal na tensão cisalhante máxima

sabemos que a tensão cisalhante máxima ocorre quando o raio está na vertical, e coordenada desse ponto é dado por:

sigma_M E D , R

sigma_M E D = - 95 M P a

tau_M a x = R = 71,6 M P a

Resposta

theta_p = 39 ° e 51 °

sigma_1 = - 23,4 M P a

sigma_2 = - 166,6 M P a

theta_S = 96 ° e 6 °

tau_M a x = R = 71,6 M P a -> sigma_M E D = - 95 M P a

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