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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 104

A roseta de deformação a 60 ° está montada sobre uma viga. As seguintes leituras foram obtidas para cada extensômetro: ϵ a = 600 ( 10 - 6 ) , ϵ b = - 700 ( 10 - 6 ) , ϵ c = 350 ( 10 - 6 ) . Determine ( a ) as deformações principais no plano e suas orientações e ( b ) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, mostre o elemento distorcido devido a essas deformações.

Passo 1

a) Fala galera, bora pra mais um problema de Resmat. O problema quer que a gente determine as deformações principais no plano.

Primeiro, temos que as deformações dadas pelos extensômetros são:

ℇ a = 600 × 10 - 6 → θ a = 0 ° ℇ b = - 700 × 10 - 6   → θ b = 60 ° ℇ c =   350 × 10 - 6 → θ c = 120 °

Repara que nosso eixo x   do nosso referencia está na direção a .

Podemos usar essas fórmulinhas para achar as deformações nos nossos eixos:

ℇ x = ℇ a ∴ ℇ x = 600 × 10 - 6

ℇ y = 1 3 2 ℇ b + 2 ℇ c - ℇ a ∴ ℇ y = - 433,33 × 10 - 6

γ x y = 2 3 ℇ b - ℇ c = - 1212,44 × 10 - 6

Aí com isso a gente consegue achar as principais. Vem!

Passo 2

Para calcularmos as deformações principais vamos usar a seguinte fórmula:

ℇ 1,2 = ℇ x + ℇ y 2 ± ℇ x - ℇ y 2 2 + γ x y 2 2

Subsituindo, ficamos com:

ϵ 1,2 = 600 × 10 - 6 + - 433,33 × 10 - 6 2 ± 600 × 10 - 6 - - 433,33 × 10 - 6 2 2 + - 1212,44 × 10 - 6 2 2

Onde teremos:

ℇ 1 = 880 × 10 - 6 ℇ 2 = - 713 × 10 - 6

Passo 3

A sua orientação será dada por:

t g   2 θ p = γ x y ℇ x - ℇ y

t g   2 θ p = - 1212,44 600 + 433,33

θ p 1 = - 24,78 °

θ p 2 = - 24,78 ° - 90 °

θ p 2 = - 114,78 °

Aí fazendo o desenho disso bem bonito:

Passo 4

b) Aí bora achar a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média, que ele pede também.

Só usar essas fórmulinhas:

γ m á x = 2 ℇ x - ℇ y 2 2 + γ x y 2 2 = 2 600 × 10 - 6 - - 433,33 × 10 - 6 2 2 + - 1212,44 × 10 - 6 2 2

γ m á x 1593 × 10 - 6

ℇ m é d = ℇ x + ℇ y 2 = 83,34 × 10 - 6

Passo 5

A sua orientação será dada por:

t g   2 θ s = - ℇ x - ℇ y γ x y = - 600 × 10 - 6 - - 433,33 × 10 - 6 - 1212,44 × 10 - 6

θ s = 20,22 °

Aí fazendo o desenho disso bem bonito:

Resposta

ℇ 1 = 880 × 10 - 6   ℇ 2 = - 713 × 10 - 6

γ m á x = 1593 × 10 - 6

ℇ m é d = 83,34 × 10 - 6

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