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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 177

A barra mostrada tem seção transversal circular de 14 mm de diâmetro. Sabendo que a = 32   m m , determine a tensão (a) no ponto A, (b) no ponto B.

(Obs: o enunciado diz que o tubo tem 14 mm de diâmetro, no entanto no desenho é apontado 16 mm entre A e B, que corresponde ao diâmetro também, vamos considerar esse valor para o diâmetro).

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse exercício escrevendo o raio interno da seção, que pode ser visto através da figura do enunciado, então temos:

r 1 = 12   m m = 0,012   m

Agora, para o raio externo da seção, que será dado pelo raio interno mais o diâmetro da seção, teremos:

r 2 = r 1 + d = 12 + 16 → r 2 = 28   m m = 0,028   m

Agora vamos escrever o raio médio da seção, que será dado por:

r - = 1 2 r 1 + r 2 = 1 2 12 + 28 → r - = 20   m m = 0,02   m

Agora vamos calcular a área da seção, então temos:

A = π d 2 4 = π 0,016 2 4 → A = 201,062.10 - 6   m 2

Agora, para encontrar a localização do raio da superfície neutra da seção, vamos recorrer a fórmula para o círculo apresentada na figura 4.61 dessa seção, onde temos:

R = 1 2 r - + r - 2 - c 2

Em que c é o raio da seção. Então substituindo os valores conhecidos nessa equação, temos:

R = 1 2 0,02 + 0,02 2 - 0,008 2 → R = 19,165.10 - 3   m

Passo 2

Agora podemos encontrar a excentricidade e da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:

e = r - - R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

e = 0,02 - 19,165.10 - 3 → e = 834,849.10 - 6   m

Agora, precisamos escrever o momento gerado pela força de 220 N aplicada na seção, nesse caso ficou fácil ver que o binário vai ser o braço de alavanca ( a + r - ) , que vai do ponto de aplicação da força até o centroide da seção transversal, multiplicado pela força de 220 N, então teremos:

M = ( a + r - ) ( 220 )

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

M = 0,032 + 0,02 220 → M = 11,44   N . m

Passo 3

Agora, para encontrar a tensão no ponto A pedida na letra (a), vamos utilizar a equação 4.71 vista nesse capítulo, lembrando que agora também temos a força de tração que deve ser somada a parcela de tensão gerada pelo momento. Então a equação 4.71 se torna:

σ A = M r A - R A e r A + P A

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

σ A = - 11,44 0,012 - 19,165.10 - 3 201,062.10 - 6 834,849.10 - 6 0,012 + 220 201,062.10 - 6

σ A = 41,79   M P a

Passo 4

Agora para descobrir a tensão no ponto B pedida na letra (b), vamos repetir os cálculos do passo, só que agora com r B = r 2 = 28   m m . Então, teremos:

σ B = M r B - R A e r B + P A

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ B = - 11,44 0,028 - 19,165.10 - 3 201,062.10 - 6 834,849.10 - 6 0,028 + 220 201,062.10 - 6

σ B = - 20,41   M P a

Resposta

a :   σ A = 41,79   M P a

b :   σ B = - 20,41   M P a

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