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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 72

SAbendo que o conjunto do Problema 18.65 está inicialmente em repouso ( ω = 0) quando um binário de momento M0 = (0,75 N ∙ m)j é aplicado ao eixo, determine (a) a aceleração angular resultante do conjunto, (b) as reações dinâmicas nos pontos A e B imediatamente após a aplicação do binário.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) a aceleração angular resultante do conjunto, (b) as reações dinâmicas nos pontos A e B imediatamente após a aplicação do binário.

Usando os eixos principais G   x '   y '   z :

I - x ' = 0 ,                 I - y ' = I - z = 1 3 m b 2

ω x ' = - ω sin ⁡ β ,                 ω y ' = ω cos ⁡ β ,                 ω z = 0

Passo 2

Momento angular sobre G.

H G = I - x ' ω x ' i ' + I - y ' ω y ' j ' + I z ω z k

H G = 1 3 m b 2 ω cos ⁡ β j '

j ' = i sin ⁡ β + j cos ⁡ β :                 H G = 1 3 m b 2 ω cos ⁡ β sin ⁡ β i + cos ⁡ β j

Passo 3

Taxa de variação do momento angular.

Eq. (18.22):

H ˙ G = H ˙ G G x y z + Ω × H G = H ˙ G G x y z + 0

Uma vez que Ω = ω = 0 quando o par é aplicado, assim,

H ˙ G = H ˙ G G x y z = 1 3 m b 2 a cos ⁡ β sin ⁡ β i + cos ⁡ β j

Passo 4

Equações de movimento: Equivalência de forças aplicadas e efetivas.

Σ M D = Σ M D e f f :                 2 b j × C x i + C z k + M 0 j = 1 3 m b 2 α ' sin ⁡ β cos ⁡ β i + 1 3 m b 2 α   c o s   2   β j

- b C x k + 2 b C z i + M 0 j = 1 3 m b 2 α sin ⁡ β cos ⁡ β i + 1 3 m b 2 α   cos 2   β j

Equacionando os coeficientes de i, j, k:

i :                 2 b C z = 1 3 m b 2 α sin ⁡ β cos ⁡ β

j :                 M 0 = 1 3 m b 2 α   cos 2   β

k :                 C x = 0

Passo 5

  1. Aceleração angular:

    2.   Da Eq.  4 ,

    α = 3 M 0 m b 2   cos 2   β

    Passo 6

  2. Reações dinâmicas iniciais.

Da Eq. (3),

C z = 1 6 m b α sin ⁡ β cos ⁡ β = 1 6 m b sin ⁡ β cos ⁡ β 3 M 0 m b 2   cos 2   β

C z = M 0 2 b tan ⁡ β

Recalculando a Eq. (5),

C z = 0

Σ F = Σ F eff :

C + D = 0 ,                 D = - C

Resposta

a ) α = 3 M 0 m b 2   cos 2   β

b )   C = M 0 2 b tan ⁡ β k

D = - M 0 2 b tan ⁡ β k

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