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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 18

Sabendo-se que, para a viga extrudada mostrada na figura, a tensão admissível é de 120   M P a , à tração, e 15 0   M P a à compressão. Determinar o maior momento M que pode ser aplicado.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

  • Aqui vamos numerar as seções, mas vamos tomar cuidado, porque uma seção vai ser positiva, e a outra que vamos retirar, vai ser negativa, definindo, isso, teremos que.

  • Em segundo precisamos determinar as áreas de cada uma das regiões e para isso precisamos das medidas do enunciado.

    • As áreas são:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:

  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Com isso teremos que:

y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 A 1 + A 2

Substituindo teremos que:

y - = 37500   .     125 - 7854   .     175 37500 - 7854 = 111,75   m m

E assim temos que:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Sendo assim teremos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 - ( I 2 + A 2 d 2 2 )

    I = 195312500 + 37500   .     13,25 2 - ( 4908739 + 7854   .     63,25 2 )

    I = 165566937 m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Se olharmos o momento que está agindo, vamos ver que o sentido dele é positivo, ou seja, comprime a parte de cima e traciona a parte de baixo:

Calculando primeiro o momento que traciona a parte de baixo. Se traciona sabemos que a tensão é positiva, sendo assim teremos que:

σ a d m = + 120   M P a = 120 N m m 2

y - - = - 111 , 7 5 m m

I = 165566937   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

120 N m m 2 = - M   .   ( - 111,75 ) m m 165566937   m m 4

M = 177789999,5   N m m = 177,8   k N m

E analisando agora a compressão teremos que:

σ a d m = - 1 50   M P a = - 1 50 N m m 2

y - + = 138,25 m m

I = 165566937   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

- 1 5 0 N m m 2 = - M   . ( 138,25 ) m m 165566937   m m 4

M = 179638630   N m m = 179,6   k N m

Como temos as tensões admissíveis, sabemos que ao momento que podemos aplicar será o menor dos que são dados acima, além dos mais, o maior momento dos dois irá romper a menor resistência, enquanto que o menor momento, garante a menor resistência e não afeta a maior, sendo assim teremos que:

M = 177,8   k N m

Resposta

M = 177,8   k N m

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