Enunciado

O sistema eixo-engranagem mostrado está sujeito a um torque T A de 340   N . m , enquanto que a polia D é mantida fixa. Sabendo-se que τ a d m = 70   M P a , determinar o menor diâmetro permissível para o eixo A B .

Passo 1

Fala aí, galera! Essa questão faz um pedido bem simples, achar o diâmetro do nosso eixo! Para fazer isso vamos ter que utilizar a seguinte equação:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

Onde J é o momento polar de inércia c é o raio, M o momento fletor e T a torção, além disso temos também a máxima tensão de cisalhamento admissível τ a d m .

Assim, a gente tem que calcular basicamente a torção e o momento fletor no eixo e, portanto, achar as forças que atuam nas engrenagens, então partiu?

Passo 2

Para começar o problema a gente vai ter que calcular a força que atuam na engrenagem B , para isso vamos ter que utilizar aquela regrinha de que em engrenagens o torque é o mesmo e a força depende do tamanho do raio da engrenagem:

T = F × r

Como o torque T A vale 340   N . m vamos ter:

340 = F B × 0,050

F B = 6,8   k N

Com isso vamos fazer um desenho do nosso eixo com todas as forças que atuam sobre ele:

Agora vamos partir para as equações da estática.

Passo 3

utilizando as equações da estática vamos ter:

∑ F y = 0

∑ F z = 0

Repare que não existem forças em x porque não há resistência nessa direção.

Resolvendo:

∑ F y = 0

R 1 y + R 2 y = 0

Para as forças em z :

∑ F z = 0

R 1 z + 6,8 + R 2 z = 0

Beleza, não dá para ir muito além disso, agora vamos olhar os momentos. Aqui vamos calcular sempre o momento em relação ao nosso ponto 2 ok? Onde estão as forças R 2 y e R 2 z .

∑ M x = 0

∑ M y = 0

∑ M z = 0

Para o momento na direção y em relação ao ponto 2 :

∑ M y 2 = 0

R 1 z × 0,550 - 6,8 × 0,150 = 0

R 1 z = 1,86   k N

Agora o momento em z em relação ao ponto 2 :

∑ M z 2 = 0  

R 1 y × 0,550 = 0

R 1 y = 0

Pessoal, podemos parar por aqui! Já que achamos todas as forças que atuam no nosso eixo A B . Olha só!

R 1 y + R 2 y = 0

R 1 z + 6,8 + R 2 z = 0

R 1 z = 1,86   k N

R 1 y = 0

Dessas equações a gente vai ter que:

R 1 y = R 2 y = 0

R 1 z = 1,86   k N

R 2 z = 4,94   k N

Passo 4

Agora temos de calcular também os momentos fletores de cada seção. Mas aqui já fica uma dica, invés de calcular todos os pontos a gente pode pegar logo o ponto B que é o ponto crítico do nosso problema. Então o momento fletor em B vai ser igual a:

M = 1,86 × 0,400 = 0,744   k N . m

M = 744   N . m

Passo 5

Agora vamos aplicar a relação entre torque e tensão cisalhante que é dada por:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

J c = 744 2 + 340 2 70 × 10 6 = 1,16858 × 10 - 5

Além disso a gente tem que lembrar do momento polar de inércia de eixos:

J = π d 4 32

E

c = d 2

Assim,

J c = π d 3 16

Substituindo:

J c = 1,16858 × 10 - 5

π d 3 16 = 1,16858 × 10 - 5

d = 39   m m

Resposta

d = 39   m m

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