Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado e usando os dados abaixo, determinar: (a) a seção transversal onde ocorre a máxima tensão normal; (b) a a maior força P que pode ser aplicada. Dados: σ a d m = 100   M P a ; L = 1,5   m ; h 0 = 40   m m ; h 1 = 100   m m e b = 20   m m .

Passo 1

Fala aí, pessoal!!!

Neste problema a gente tem que reparar que a seção transversal muda conforme avançamos na viga. É importante perceber que a seção é sempre um retângulo o que muda é a altura.

Então vai ser importante representar corretamente essa variação de altura em função de x para calcularmos o módulo resistente da seção e finalmente aplicarmos a equação:

σ = M W

Passo 2

Vamos começar calculando o módulo resistente dessa seção, lembrando que o módulo resistente W é calculado como:

W = I c

Como temos um retângulo, vamos ter:

I = 1 12 b h 3

E

c = h 2

Assim vamos ficar com:

W = 1 12 b h 3 h / 2

W = 1 6 b h 2

Passo 3

Beleza, mas esse h não varia? Então vamos expressar essa variação.

A gente pode ver pelo desenho que é uma variação linear então podemos expressar aplicando uma semelhança de triângulos:

h 1 - h 0 h - h 0 = 0,5 l x

h = h 1 - h 0 0,5 L x + h 0

Então podemos expressar o nosso módulo resistente como:

W = 1 6 b h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

Passo 4

Agora vamos calcular o momento fletor que atua nessa viga, olha só o esquema das forças:

Podemos perceber que A x = 0 já que é a única força que atua na horizontal. Agora vamos fazer o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - P + B y = 0

A y + B y = P

Mas repare que o carregamento é simétrico, então os termos A y e B y são iguais!

A y = B y = P 2

Agora podemos calcular o momento fletor da barra que é igual a:

M = A y   .   x

M = P 2   .   x

M = P x 2

obs: Aqui a gente calcuou só para a metade da esquerda da barra, mas como ela é simétrica então não precisamos calcular tudo, só metade mesmo =D

Passo 5

Se a gente já tem o módulo resistente e o momento fletor vamos aplicar a equação da tensão:

σ = M W

σ = P x 2 1 6 b h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

Simplificando:

σ = 3 P x b h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

σ = 3 P b   .     x h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

Agora, para achar o máximo dessa equação vamos derivar e igualar a zero e para ficar mais simples vamos considerar:

a = h 1 - h 0 0,5 L

Então vamos ter:

σ = 3 P b   .     x a x + h 0 2

Derivando:

d σ d x = 3 P b a x + h 0 2 - 2 a x ( a x + h 0 ) a x + h 0 4

Como o numerador deve ser igual a zero:

a x + h 0 2 - 2 a x a x + h 0 = 0

a 2 x 2 + 2 a h 0 x + h 0 2 - 2 a 2 x 2 - 2 a h 0 x = 0

- a 2 x 2 + h 0 2 = 0

x = h 0 a

Como

a = h 1 - h 0 0,5 L

Então

x = h 0 × 0,5 L h 1 - h 0

x = h 0 h 1 - h 0 × 0,5 L

Agora vamos substituir os valores dados:

x = 0,050 0,080 - 0,050 × 0,5 × 1,2

x = 1   m

Passo 6

Agora é só aplicar a equação da tensão máxima para esse ponto!

σ = M W

Para facilitar vamos substituir o valor de x separado:

M = P 2 × h 0 h 1 - h 0 × 0,5 L

M = P h 0 L 4 ( h 1 - h 0 )

E

W = 1 6 b h 1 - h 0 0,5 L h 0 h 1 - h 0 × 0,5 L + h 0 2

W = 1 6 b h 0 1 + h 0 2

W = 4 6 b h 0 2

Substituindo:

σ = M W

σ = P h 0 L 4 ( h 1 - h 0 ) 4 6 b h 0 2

σ = P h 0 L 4 ( h 1 - h 0 ) × 6 4 b h 0 2

σ = 3 8 P L h 0 ( h 1 - h 0 ) b

Agora temos de substituir os valores:

100 × 10 6 = 3 8 P × 1,2 0,050 0,080 - 0,050 0,040

P = 13,3   k N

Resposta

a)

x = 1   m

b)

P = 13,3   k N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga com o carregamento mostrado, desenhar os diagramas de cortante e de momento fletor, e dimensionar a seção transversal da viga, sabendo-se que σ a d m = 8,6M P a e τ a d m = 0,62M P a .
A força transversal P é aplicada, como mostrado, na extremidade A de um tronco de cone A B . Denotando por d 0 o diâmetro em A , mostre que a máxima tensão normal ocorre no ponto H , que está contido
Uma barra maciça de aço tem uma seção transversal trapezoidal e suporta uma carga uniformemente distribuída w como mostrado. Sabendo-se que σ a d m = + 75 M P a na tração e σ a d m = - 100 M P a na co
Sabendo-se que σ a d m = 160 M P a e τ a d m = 100 M P a , selecionar o perfil de abas largas que poderá ser usado para suportar o carregamento mostrado.
Resolva o problema 7.187, se cada uma das cargas de 20k N for aplicada separadamente na viga.