O soprador industrial aspira o ar através da arbetura axial A com uma velocidade v 1 e o descarrega à pressão atmosférica e temperatura ambiente através do duto B com 150   m m de diâmetro com uma velocidade v 2 . O soprador movimenta 16   m 3 de ar por minuto com o motor e o ventilador girando a 3450   r p m . Se o motor exige 0,32   k W de potência sem carga (ambos os dutos fechados), calcule a potência P consumida enquanto o ar está sendo bombeado.

Passo 1

Se o motor exige 0,32   k W de potência para funcionar com ambos os dutos fechados, a potência que precisamos calcular é a exigida para “acelerar” o ar que entra e sai do sistema.

Já que esse sistema envolve rotação, é uma boa ideia pensar em termos de momento. Na maior parte dos casos, a equação para o momento resultante é a seguinte:

∑ M = m ' ( v 2 d 2 - v 1 d 1 )

Onde calculamos tudo em torno de algum ponto de referência, nesse caso, seria natural escolher o centro do ventilador de diâmetro 0,200   m .

Mas é importante lembrar de um detalhe: as velocidades dos fluxos não estão no mesmo plano! Por isso precisamos lembrar da definição mais geral do momento resultante:

∑ M → = m ' ( d → 2 × v → 2 - d → 1 × v → 1 )

Onde d → 1 e d → 2 são os vetores-posição dos das áreas de cada fluxo até o nosso referencial. Calma, é mais simples do que parece.

Passo 2

Vamos desenhar nosso sistema de outra forma:

Vamos olhar de novo para a equação do momento:

∑ M → = m ' ( d → 2 × v → 2 - d → 1 × v → 1 )

O vetor v → 1 está “entrando” no plano do papel, mas o vetor que liga o centro do nosso círculo até a área A por onde o ar entra também está na mesma direção (veja o desenho do enunciado), isso significa que:

d → 1 × v → 1 = 0

E agora podemos simplificar bastante nossa equação:

∑ M → = m ' ( d → 2 × v → 2 )

Tirando o módulo:

∑ M = m ' d → 2 × v → 2

E como d → 2 é o vetor que liga o centro do nosso círculo até o centro da área B , o módulo desse produto vetorial é:

d → 2 × v → 2 = v 2   d 2 sen ⁡ θ = v 2   r

Onde θ é o ângulo entre os dois vetores. Beleza, agora já temos uma equação para o momento resultante:

∑ M = m ' v 2   r

Passo 3

Agora podemos calcular a taxa de escoamento de massa com os dados do enunciado.

m ' = ρ Q = 1,206 k g m 3 16 m 3 m i n = 19,296 k g m i n = 0,322 k g s

E já que temos 16   m 3 a cada minuto, ou 0,2667   m 3 a cada segundo, passando na abertura B que tem diâmetro 0,150   m , a velocidade v 2 é:

v 2 = 0,2667 π 0,150 2 2 = 15,09   m / s

E então o momento resultante é:

∑ M = m ' v 2   r

∑ M = 0,322 15,09 0,200 = 0,972   N m

Passo 4

E agora é só calcular a potência associada a esse momento. Assim como o produto de força e velocidade é a potência no mundo das grandezas lineares, momento e velocidade angular são a potência no mundo das grandezas angulares:

ω = 3450   r p m = 361,3   r a d / s

p = M ω = 0,972 361,3 ≅ 351   W

E já que o motor consome 0,32   k W por cona própria, a potência total vai ser:

p = 0,32   k W + 0,351   k W = 0,671   k W

Resolvido!

Resposta

A potência total consumida é 0,671   k W .

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