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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 151

A suspensão de um automóvel pode ser aproximada pelo sistema simplificado de mola e painel mostrado. (a) Escreva a equação diferencial que define o deslocamento vertical da massa m quando o sistema se move a uma velocidade v sobre uma estrada com uma seção transversal senoidal de amplitude 5 „e comprimento de onda L. (b) Derive uma expressão para a amplitude de o deslocamento vertical da massa m.

Passo 1

O enunciado pede que a gente sistema se move a uma velocidade v sobre uma estrada com uma seção transversal senoidal de amplitude 5 „e comprimento de onda L. (b) Derive uma expressão para a amplitude de o deslocamento vertical da massa

(a) + ↓ Σ F = m a : W - k δ S T + x - δ - c d x d t - d δ d t = m d 2 x d t 2

Relembrando que W = k δ S T , escrevemos

m d 2 x d t 2 + c d x d t + k x = k δ + c d δ d t (1)

Passo 2

Movimento da roda é uma curva seno δ = δ m s i n ⁡ ω f t . O intervalo de tempo para viajar a uma distância L em uma velocidade v é t = L v , em que é o período da superfície da estrada

ω f = 2 π τ f = 2 π L v = 2 π y L

E δ = δ m s i n ⁡ ω f t d δ d t = δ m 2 π L v c o s ⁡ ω f t

Então, eq(1) é m d 2 x d t + c d x d t + k x = k s i n ⁡ ω f t + c ω f c o s ⁡ ω f t δ m

Passo 3

(b) da identidade

A s i n ⁡ y + B c o s ⁡ y = A 2 + B 2 s i n ⁡ ( y + ψ )

s i n ⁡ φ = B A 2 + B 2

c o s ⁡ φ = A A 2 + B 2

podemos escrever a equação diferencial

m d 2 x d t 2 + c d x d t + k x = δ m k 2 + c ω f 2 s i n ⁡ ω f t + ψ

ψ = t a n - 1 ⁡ c ω f k

Passo 4

A solução para essa equação é análoga a equações 19.47 e 19.48

P m = δ m k 2 + c ω f 2

x = x m s i n ⁡ ω f t - φ + ψ (análoga a equações 19.52)

x m = δ k 2 + c ω f 2 k - m ω f 2 2 + c ω f 2

t a n ⁡ φ = c ω f k - m ω f 2

t a n ⁡ ψ = c ω f k

Resposta

a m d 2 x d t + c d x d t + k x = k s i n ⁡ ω f t + c ω f c o s ⁡ ω f t δ m

(b) t a n ⁡ ψ = c ω f k

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