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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 104

A torre de antena é sustentada por três cabos. Se as forças desses cabos que atuam sobre a antena são F B = 520 N, F C = 680 N e F D = 560 N, determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante que atua em A .

Passo 1

Nesse exercício queremos descobrir as características da nossa força resultante, sabemos que ela será o somatório das nossas forças, então antes vamos definir cada uma delas. Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

A 0 ,   0 ,   24   m

B 0 ,   - 10 ,   0   m

C 16 ,   18 ,   0   m

D - 12 ,   8 ,   0   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r = x f - x i i + y f - y i j + ( z f - z i ) k

r A B = 0 - 0 i   +   - 10 - 0 j   +   0 - 24 k   m

r A B = - 10 j - 24 k   m

r A C = { 16 - 0 i   +   18 - 0 j   +   0 - 24 k }   m

r A C = 16 i + 18 j - 24 k   m

r A D = - 12 - 0 i + 8 - 0 j + 0 - 24 k   m

r A D =   { - 12 i + 8 j - 24 k }   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

| r A B |   = - 10 2 + - 24 2

r A B = 26   m

| r A C |   = 16 2 + 18 2 + - 24 2

r A C = 34   m

| r A D |   = - 12 2 + 8 2 + - 24 2

r A D = 28   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido dos nossos vetores são:

u = r r

u A B = ( - 10 j - 24 k ) 26

u A C = ( 16 i + 18 j - 24 k ) 34

u A D = ( - 12 i + 8 j - 24 k ) 28

Passo 3

Com isso, podemos expressar nossas forças como vetores cartesianos:

F = F   u

F B = F B u A B = 520   N   - 10 j - 24 k 26

F A =   { - 200 j   -   480 k } N

F C = F C u A C = 175   N   ( 0,3041 i - 0,4562 j - 0,8363 k )

F C = { 320 i +   360 j   -   480 k }   N

F D = F D u A D = 175   N   ( 0,3041 i - 0,4562 j - 0,8363 k )

F D = { - 240 i +   160 j   -   480 k }   N

Passo 4

E então podemos encontrar nossa força resultante, dado que:

F R = F A + F B + F C

F R = - 200 i   -   480 k + 320 i +   360 j   -   480 k + { - 240 i +   160 j   -   480 k }  

F R = 80 i   +   320 j   - 1440 k N

E a sua intensidade será:

F R = 80 2 + 320 2 + - 1440 2

F R = 1477   N

Passo 5

Finalmente, encontrando os ângulos de direção coordenados:

α = cos - 1 ⁡ F x F

β = cos - 1 ⁡ F y F

γ = cos - 1 ⁡ F z F

α = cos - 1 ⁡ 80 1477 ∴ α = 86,9 °

β = cos - 1 ⁡ 320 1477 ∴ β = 77,5 °

γ = cos - 1 ⁡ - 1440 1477 ∴ γ = 167 °

Resposta

F R = 1477   N

α = 86,9 °

β = 77,5 °

γ = 167 °

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