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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 105

Se a força em cada cabo preso ao caixote é 350 N, determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante.

Passo 1

Nesse exercício queremos descobrir as características da nossa força resultante, sabemos que ela será o somatório das nossas forças, então antes vamos definir cada uma delas. Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

A 0,9 ,   - 0,6 ,   0   m

B 0,9 ,   0,6 ,   0   m

C - 0,9 ,   0,6 ,   0   m

D - 0,9 ,   - 0,6 ,   0   m

E 0 ,   0 ,   1,8   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r = x f - x i i + y f - y i j + ( z f - z i ) k

r E A = 0 , 9 - 0 i   +   - 0,6 - 0 j   +   0 - 1,8 k   m

r E A = 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   m

r E B = 0,9 - 0 i   +   0,6 - 0 j   +   0 - 1,8 k   m

r E B = 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k   m

r E C = - 0,9 - 0 i   +   0,6 - 0 j   +   0 - 1,8 k   m

r E C = - 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k   m

r E D = - 0,9 - 0 i   +   - 0,6 - 0 j   +   0 - 1,8 k   m

r E D = - 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

| r E A |   = 0,9 2 + - 0,6 2 + - 1,8 2

r E A = 2,1   m

| r E B |   = 0,9 2 + 0,6 2 + - 1,8 2

r E B = 2,1   m

| r E C |   = - 0,9 2 + 0,6 2 + - 1,8 2

r E C = 2,1   m

| r E D |   = - 0,9 2 + - 0,6 2 + - 1,8 2

r E D = 2,1   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido dos nossos vetores são:

u = r r

u E A = ( 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   ) 2,1

u E B = ( 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k ) 2,1

u E C = ( - 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k ) 2,1

u E D = ( - 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k ) 2,1

Passo 3

Com isso, podemos expressar nossas forças como vetores cartesianos:

F = F   u

F A = F A u E A = 350   N   ( 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k   ) 2,1

F A =   150 i - 100 j   -   300 k   N

F B = F B u E B = 350   N   ( 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k ) 2,1

F B =   150 i + 100 j   -   300 k   N

F C = F C u E C = 350   N   - 0,9 i + 0,6 j - 1,8 k 2,1

F C = - 150 i + 100 j   -   300 k   N

F D = F D u E D = 350   N   - 0,9 i - 0,6 j - 1,8 k 2,1

F D = - 150 i - 100 j   -   300 k   N

Passo 4

E então podemos encontrar nossa força resultante:

F R = F A + F B + F C + F D

F R = 150 i - 100 j   -   300 k + 150 i + 100 j   -   300 k + - 150 i + 100 j   -   300 k + ( - 150 i - 100 j   -   300 k )

F R = - 1200 k   N

E a sua intensidade será:

F R = 1200   N

Passo 5

Finalmente, encontrando os ângulos de direção coordenados:

α = cos - 1 ⁡ F x F

β = cos - 1 ⁡ F y F

γ = cos - 1 ⁡ F z F

α = cos - 1 ⁡ 0 1 200 ∴ α = 9 0 °

β = cos - 1 ⁡ 0 1 200 ∴ β = 90 °

γ = cos - 1 ⁡ - 1200 1200 ∴ γ = 1 80 °

Resposta

F R = 1200   N

α = 90 °

β = 90 °

γ = 180 °

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