Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 29

Na treliça mostrada, todos os membros são feitos do mesmo material e têm seções transversais uniformes, com as áreas indicadas. Determinar a energia de deformação da treliça, quando a carga é aplicada.

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo show de bola? Então vamos exercitar nosso conhecimento sobre energia de deformação!

Nessa questão, vemos as treliças e suportando uma força . Essa força faz as treliças e se deformarem. Por isso, a treliça absorve a energia de deformação e a treliça absorve a energia de deformação . O enunciado quer saber, quanto vale a energia de deformação total que é a soma das energias e .

Podemos ver na figura abaixo que, como a treliça é forçada com a carga , ela reage com uma força . O mesmo ocorre com a treliça . Ela sofre a ação da força e reage com uma força . É MUITO importante notar que as forças de reação das treliças e estão SEMPRE na mesma direção das treliças!

Para descobrir quanto vale e precisamos aplicar duas equações de equilíbrio de forças no ponto . Vamos aplicar a equação do equilíbrio no eixo .

onde são as componentes horizontais das forças , e .

Também vamos aplicar a equação de equilíbrio no eixo .

onde são as componentes verticais das forças , e .

Achar as forças e é fundamental para achar e .

e são calculadas usando a equação 10.14 do livro. Essa equação é válida para barras com áreas da seção transversal constantes, como é o nosso caso!

é o módulo de elasticidade das treliças. O módulo de elasticidade das duas treliças são iguais, porque o enunciado diz que elas são feitas do mesmo material. e são as áreas das seções transversais das treliças. Essas duas áreas são iguais a como mostra a Fig. 10.29.

Mesmo com essas informações em mão, ainda precisamos calcular o seno e cosseno de um ângulo presente no problema para poder usar as equações de equilíbrio.

Passo 2

Nesse passo, nós vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo presente no problema.

Veja a figura abaixo para entender que ângulo é esse.

Antes de tudo, precisamos calcular os comprimentos e através do teorema de Pitágoras!

Para calcular o seno do ângulo , temos dividir o lado oposto ao ângulo pela hipotenusa .

Para calcular o cosseno do ângulo , temos dividir o lado adjacente ao ângulo pela hipotenusa .

Passo 3

Vamos começar o cálculo das forças fazendo o equilíbrio de forças na vertical . Isso é apenas uma escolha. Tanto faz por qual equilíbrio começamos. Poderíamos começar com o equilíbrio das forças na horizontal.

Para fazer o equilíbrio vertical, vamos ver quanto vale a projeção de e de em .

Através da figura acima vemos que existem três forças em : a projeção de , a projeção de e a força . Como a força e a projeção de estão pra baixo, colocaremos um sinal de menos na frente delas na equação de equilíbrio em . Como a projeção de está para cima, deixamos um sinal de mais na frente dela!

Passo 4

Nesse passo, vamos calcular fazer o equilíbrio de forças na horizontal para calcular as forças e .

Através da figura acima vemos que existem apenas duas forças em : a projeção da força e a projeção da força . não tem projeção no eixo . Como a projeção da força e a projeção da força estão pra direita, colocaremos um sinal de mais na frente delas na equação de equilíbrio em .

Substituindo o valor de na equação de que encontramos antes, achamos:

Substituindo , na equação que achamos com o equilíbrio de forças em :

Agora temos as duas forças que precisamos para calcular , e .

No próximo passo faremos essa conta.

Passo 5

Nesse passo calcularemos , e .

Vamos começar calculando .

Lembrando que o comprimento da treliça vale , que a área da seção transversal dessa treliça vale e que vale achamos:

Já achamos uma energia. Agora vamos partir para o cálculo de . Para isso, devemos lembrar que o comprimento da treliça vale , que a área da seção transversal dessa treliça vale e que vale .