Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 39
Assumindo que a viga prismática tem uma seção transversal retangular, mostrar que, para o carregamento dado, o máximo valor da densidade de energia de deformação na viga é
onde é a energia de deformação da viga e é o seu volume.
Passo 1
Oi, pessoas! Tudo de boas? Partiu resolver um exercício de energia de deformação para dominar melhor essa matéria?
O enunciado quer que a gente prove que a densidade de energia máxima de uma viga da figura abaixo e a energia de deformação dessa viga se relacionem de acordo com a equação que está na figura.
é a largura da viga e é a altura da seção transversal da viga.
Pela figura, nós notamos que a viga atinge sua tensão máxima nas extremidades superior e inferior da viga. Por isso, é nessa região que a densidade de energia é máxima .
Provar que e se relacionam de acordo com a equação da figura é a mesma coisa que provar que a divisão entre e vale
Por isso, vamos calcular e e vamos dividir os dois para demonstar que a equação acima é verdadeira.
Calculamos a partir da equação abaixo.
onde é a máxima tensão normal que existe em uma viga sob flexão e é o módulo de elasticidade da viga.
Para calcular a energia da barra causada pelo momento fletor é:
onde é o comprimento total da barra , é o módulo de elasticidade e é o momento de inércia.
Agora que sabemos disso tudo, vamos partir pra resolução do exercício.
Passo 2
Vamos começar a resolver o exercício, calculando o valor de da viga. Nós já sabemos que a máxima densidade de energia ocorre nas extremidades da barra. No entanto, para calculá-la precisamos descobrir quanto vale a tensão nesse ponto.
A equação de se encontra na figura abaixo.
é a distância entre as extremidades da viga e a linha central de tensão nula. Essa distâncaa vale . é o momento fletor máximo da vida. Ele ocorre no ponto de contato entre a viga e a parede. Para calcular o momento fletor , fazer o equilíbrio de momento no ponto da parte direita da barra .
Para usar a equação de equilíbrio de momento da parte direita da barra e achar , precisamos lembrar que o momento da força distribuída é calculada com a integral abaixo.
Como o momento fletor e a força distribuída tendem a fazer o pedaço de barra girar no sentido horário em torno do ponto , o momento e o momento da força distribuída vão ganhar um sinal de menos na frente.
Substituindo os valores de e na fórmula da tensão máxima , achamos:
Substituindo na equação de , achamos:
No próximo passo acharemos !
Passo 3
Para calcular o momento fletor , fazer o equilíbrio de momento no ponto da parte direita da barra .
Para usar a equação de equilíbrio de momento da parte direita da barra e achar , precisamos lembrar que o momento da força distribuída é calculada com a integral abaixo.
Como o momento fletor e a força distribuída tendem a fazer o pedaço de barra girar no sentido horário em torno do ponto , o momento e o momento da força distribuída vão ganhar um sinal de menos na frente.
Substituindo esse valor de na integral que calcula a energia de deformação, achamos:
Colocando as constantes para fora da integral:
Passo 4
Agora vamos dividir por !
Para achar o valor exato dessa divisão, precisamos lembrar que o momento de inércia de uma área retangular vale:
Substituindo isso na fórmula, achamos:
No entanto, o produto é justamente o volume da viga! Substituindo por , achamos:
Reorganizando essa equação:
Aeeeee! É justamente isso que a gente queria demonstrar! Então acabamos com a questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)