Enunciado

Assumindo que a viga prismática A B tem uma seção transversal retangular, mostrar que, para o carregamento dado, o máximo valor da densidade de energia de deformação na viga é

u m = 15 U V

onde U é a energia de deformação da viga e V é o seu volume.

Passo 1

Oi, pessoas! Tudo de boas? Partiu resolver um exercício de energia de deformação para dominar melhor essa matéria?

O enunciado quer que a gente prove que a densidade de energia máxima u m de uma viga da figura abaixo e a energia de deformação U dessa viga se relacionem de acordo com a equação que está na figura.

b é a largura da viga e d é a altura da seção transversal da viga.

Pela figura, nós notamos que a viga atinge sua tensão máxima σ m á x nas extremidades superior e inferior da viga. Por isso, é nessa região que a densidade de energia u é máxima u = u m .

Provar que u m e U se relacionam de acordo com a equação da figura é a mesma coisa que provar que a divisão entre u m e U vale 15 V

u m U = 15 V

Por isso, vamos calcular u m e U e vamos dividir os dois para demonstar que a equação acima é verdadeira.

Calculamos u m a partir da equação abaixo.

u m = σ m á x 2 2 E

onde σ m á x é a máxima tensão normal que existe em uma viga sob flexão e E é o módulo de elasticidade da viga.

Para calcular a energia U da barra causada pelo momento fletor M é:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

onde L é o comprimento total da barra A B , E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia.

Agora que sabemos disso tudo, vamos partir pra resolução do exercício.

Passo 2

Vamos começar a resolver o exercício, calculando o valor de u m da viga. Nós já sabemos que a máxima densidade de energia u m ocorre nas extremidades da barra. No entanto, para calculá-la precisamos descobrir quanto vale a tensão σ m á x nesse ponto.

A equação de σ m á x se encontra na figura abaixo.

c é a distância entre as extremidades da viga e a linha central de tensão nula. Essa distâncaa vale d / 2 . M m á x é o momento fletor máximo da vida. Ele ocorre no ponto de contato entre a viga e a parede. Para calcular o momento fletor M m á x , fazer o equilíbrio de momento no ponto x = L da parte direita da barra A B .

Para usar a equação de equilíbrio de momento da parte direita da barra e achar M m á x , precisamos lembrar que o momento da força distribuída w é calculada com a integral abaixo.

M w = ∫ 0 x = L w x '   d x '       ⟹       M w = w L 2 2

Como o momento fletor M m á x e a força distribuída w tendem a fazer o pedaço de barra girar no sentido horário em torno do ponto x , o momento M m á x e o momento da força distribuída w vão ganhar um sinal de menos na frente.

∑ x = L M = 0

- M w - M m á x = 0       ⟹       - w L 2 2 - M m á x = 0       ⟹       M m á x = - w L 2 2

Substituindo os valores de M m á x e c na fórmula da tensão máxima σ m á x , achamos:

σ m á x = M m á x × c I       ⟹       σ m á x = - w L 2 2 × d 2 I       ⟹       σ m á x = - w L 2 d 4 I

Substituindo σ m á x na equação de u m , achamos:

u m = σ m á x 2 2 E         ⟹     u m = - w L 2 d 4 I 2 2 E       ⟹       u m = w 2 L 4 d 2 32 E I 2

No próximo passo acharemos U !

Passo 3

Para calcular o momento fletor M , fazer o equilíbrio de momento no ponto x da parte direita da barra A B .

Para usar a equação de equilíbrio de momento da parte direita da barra e achar M , precisamos lembrar que o momento da força distribuída w é calculada com a integral abaixo.

M w = ∫ 0 x w x '   d x '       ⟹       M w = w x 2 2

Como o momento fletor M e a força distribuída w tendem a fazer o pedaço de barra girar no sentido horário em torno do ponto x , o momento M e o momento da força distribuída w vão ganhar um sinal de menos na frente.

∑ x M = 0

- M w - M = 0       ⟹       - w x 2 2 - M = 0       ⟹       M = - w x 2 2

Substituindo esse valor de M na integral que calcula a energia de deformação, achamos:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x       ⟹       U = ∫ 0 L - w x 2 2 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral:

U = w 2 4 × 2 E I ∫ 0 L x 4   d x       ⟹       U = w 2 8 E I x 5 5 0 L       ⟹       U = w 2 L 5 40 E I

Passo 4

Agora vamos dividir u m por U !

u m U = w 2 L 4 d 2 32 E I 2 w 2 L 5 40 E I       ⟹     u m U = 5 d 2 4 L I

Para achar o valor exato dessa divisão, precisamos lembrar que o momento de inércia de uma área retangular vale:

I = 1 12 b d 3

Substituindo isso na fórmula, achamos:

u m U = 5 d 2 4 L I       ⟹       u m U = 5 d 2 4 L 1 12 b d 3       ⟹       u m U = 15 L b d

No entanto, o produto L b d é justamente o volume V da viga! Substituindo L b d por V , achamos:

u m U = 15 L b d       ⟹       u m U = 15 V

Reorganizando essa equação:

u m = 15 U V

Aeeeee! É justamente isso que a gente queria demonstrar! Então acabamos com a questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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