Enunciado

Levando em conta somente o efeito das tensões normais, determinar a energia de deformação da viga prismática A B para o carregamento mostrado.

Passo 1

Fala, pessoal! Partiu resolver mais um exercício de energia de deformação?

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U da barra A B . Mas atenção! Nesse exercício vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor M presente na barra. Deixaremos a força cortante V de fora.

A equação que calcula essa energia U da barra causada pelo momento fletor M é:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

onde L é o comprimento total da barra A B , E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia.

Para calcular o momento fletor M , fazer o equilíbrio de momento no ponto x da parte direita da barra A B .

No próximo passo, calcularemos o momento fletor M então!

Passo 2

Para usar a equação de equilíbrio de momento da parte direita da barra e achar M , precisamos lembrar que o momento da força distribuída w é calculada com a integral abaixo.

M w = ∫ 0 x w x '   d x '

M w = w x 2 2

Como o momento fletor M e a força distribuída w tendem a fazer o pedaço de barra girar no sentido horário em torno do ponto x , o momento M e o momento da força distribuída w vão ganhar um sinal de menos na frente.

∑ x M = 0

- M w - M = 0

- w x 2 2 - M = 0

M = - w x 2 2

Com esse valor de M , podemos achar U !

Passo 3

Substituindo esse valor de M na integral que calcula a energia de deformação, achamos:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

U = ∫ 0 L - w x 2 2 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral:

U = w 2 4 × 2 E I ∫ 0 L x 4   d x

U = w 2 8 E I x 5 5 0 L

U = w 2 L 5 40 E I

Boaaaaa! U foi finalmente encontrado! Ponto pra gente!

Resposta

U = w 2 L 5 40 E I

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