Levando em conta somente o efeito das tensões normais, determinar a energia de deformação da viga prismática A B para o carregamento mostrado.

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Como estão os estudos? Tem que aprender rápido? Então partiu resolver um exercício de energia de deformação passo a passo e de forma clara!

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U da barra A B . Mas atenção! Vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor M presente na barra. Deixaremos a força cortante V de fora.

A equação que calcula essa energia U da barra causada pelo momento fletor M é:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

onde L é o comprimento total da barra A B , E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia.

Para calcular o momento fletor M , temos que achar as forças que atuam na barra. A figura abaixo mostra as forças atuando na barra A B .

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de momento. No entanto, apenas uma delas é suficiente para a gente achar o momento fletor M . No próximo passo, calcularemos uma das duas forças então!

Passo 2

Como vamos calcular o momento fletor M fazendo o equilíbrio da parte esquerda da barra, temos que conhecer apenas R A ! Podemos excluir R B , porque essa força não vai fazer parte do equilíbrio da parte esquerda da barra!

Para achar R A sem precisar achar R B , podemos calcular R A através da equação de equilíbrio de momento no ponto B . Como a força R B não tem braço de alavanca em B , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em B .

Para usar a equação de equilíbrio de momento da barra e achar M , precisamos lembrar que o momento da força distribuída w é calculada com a integral abaixo.

M w = ∫ 0 L w x   d x

M w = w L 2 2

Como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

∑ B M = 0

- M A + M w = 0

- R A L + w L 2 2 = 0

R A = w L 2

Agora estamos aptos a achar M !

Passo 3

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento da parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio de momento no ponto x .

Para usar a equação de equilíbrio de momento da parte esquerda da barra e achar M , precisamos lembrar que o momento da força distribuída w é calculada com a integral abaixo.

M w = ∫ 0 x w x '   d x '

M w = w x 2 2

Novamente precisamos lembrar que, como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

∑ x M = 0

- M A + M w + M = 0

- R A x + w x 2 2 + M = 0

- w L 2 x + w x 2 2 + M = 0

M = w x 2 L - x

Com esse valor de M , podemos achar U !

Passo 4

Agora podemos substituir M na integral que calcula U .

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

U = ∫ 0 L w x 2 L - x 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = w 2 4 × 2 E I ∫ 0 L x 2 L - x 2 d x

U = w 2 8 E I ∫ 0 L x 2 L 2 - 2 x 3 L + x 4   d x

U = w 2 8 E I x 3 L 2 3 - x 4 L 2 + x 5 5 0 L

Substituindo os limites de integração:

U = w 2 8 E I L 5 3 - L 5 2 + L 5 5

U = w 2 L 5 240 E I

Uhuuuuuuuul! Boaaaa! Com esse valor de U , concluímos mais um exercício de energia de deformação!

Resposta

U = w 2 L 5 240 E I

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