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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 20

Resolver o Prob. 10.19, assumindo que a = 635 m m .

Passo 1

E aííí, pessoinhas! Tudo em cima? Vamos fazer um exercício bem parecido com o Prob. 10.19?

O enunciado quer que a gente calcule o coeficiente de segurança C S que evita a barra A B C de se deformar permanentemente. Esse coeficiente C S é igual à energia máxima U_e que a barra atinge antes de se deformar permanentemente dividida pela energia U = 4,5 N m que a barra tem, quando está sob carga P .

C S = (U_e)/(U)

Nós já temos U . Logo, para calcular C S precisamos achar apenas U_e .

A imagem abaixo mostra a barra A B C em pé com os dados que precisamos para achar U_e .

Note que a barra é formada por duas barras: B C (mais grossa) e A B (mais fina). A barra B C mais grossa possui área de seção transversal constante igual a A_B C e diâmetro D_B C . A barra A B mais fina possui área de seção transversal constante igual a A_A B e diâmetro D_A B .

E é o módulo de elasticidade da barra. L é o comprimento da barra. a é o comprimento da parte grossa da barra (barra B C ). sigma_e é a máxima tensão que a barra pode sofrer sem se deformar permanentemente. U_A B e U_B C são as energias de deformação das barras A B e B C respectivamente. Como a barra é formada por essas duas barras, a energia U_e é a soma de U_A B e U_B C .

U_e = U_B C + U_A B

No entanto, para achar as energias U_A B e U_B C que as partes da barra têm quando a barra A B C está prestes a se deformar permanentemente, precisamos achar a carga P_e que causa essa deformação permanente. Essa carga é igual à tensão sigma_e vezes A_A B .

P_e = sigma_e xx A_A B

Mas por que usamos a área A_A B e não a área A_B C ?

Porque a área A_A B é menor que a área A_B C . Temos que usar a menor área, porque as menores áreas geram as maiores tensões! Logo, a menor área alcança a tensão limite sigma_e para menores cargas P .

A darr ⟹ sigma uarr

Agora que sabemos de tudo isso, podemos descobrir como achar as energias U_A B e U_B C através da carga P_e no próximo passo!

Passo 2

Nesse passo, a gente vai encontrar as energias U_A B e U_B C .

A fórmula que calcula as energias de deformação de barras com áreas da seção transversal constantes é a fórmula 10.14 do livro. Como A B e B C têm áreas constantes:

U_A B = (P_e^2 (L - a))/(2 A_A B E)

U_B C = (P_e^2 a)/(2 A_B C E)

Ou seja, para calcular U_A B e U_B C , temos que achar A_A B e A_B C em m^2 .

A_B C = pi xx (D_(B C)^2)/(4) ⟹ A_B C = pi xx (12,5^2)/(4) ⟹ A_B C = 123 m m^2 ⟹ A_B C = 123 xx 10^(- 6) m^2

A_A B = pi xx (D_(A B)^2)/(4) ⟹ A_A B = pi xx (9,5^2)/(4) ⟹ A_A B = 71 m m^2 ⟹ A_A B = 71 xx 10^(- 6) m^2

Primeira etapa cumprida! Vamos achar a força P_e agora!

Mas antes, temos que lembrar que a tensão admissível sigma_e = 350 M P a vale sigma_e = 350 xx 10^6 P a .

P_e = sigma_e xx A_A B ⟹ P_e = 350 xx 10^6 xx 71 xx 10^(- 6) ⟹ P_e = 24850 N

Por fim, temos que converter E de G P a para P a , multiplicando E por 10^9 .

E = 200 G P a ⟹ E = 200 xx 10^9 P a

Substituindo tudo isso na fórmula de U_A B e U_B C , achamos:

U_A B = (P_e^2 (L - a))/(2 A_A B E) ⟹ U_A B = (24850^2 xx 0,365)/(2 xx 71 xx 10^(- 6) xx 200 xx 10^9) ⟹ U_A B = 7,94 J

U_B C = (P_e^2 a)/(2 A_B C E) ⟹ U_B C = (24850^2 xx 0,635)/(2 xx 123 xx 10^(- 6) xx 200 xx 10^9) ⟹ U_B C = 7,97 J

Agora podemos achar U_e e o coeficiente de segurança C S .

Passo 3

Nesse passo, a gente vai calcular o valor da energia máxima U_e que a barra tem antes de se deformar permanentemente e o valor do coeficiente de segurança C S .

Começamos por U_e :

U_e = U_B C + U_A B ⟹ U_e = 7,97 + 7,94 ⟹ U_e = 15 , 91 J

Substituindo esse valor na fórmula de C S , achamos:

C S = (U_e)/(U) ⟹ C S = (15,91)/(4,5) ⟹ CS=3,5

Prooonto! Passou rápido, né? O tempo passa rápido quando a gente se diverte!

Resposta

C S = 3,5

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