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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 84

Três hastes idênticas são conectadas conforme mostrado. Se b = 3 4 l , determine a frequência de pequenas oscilações do sistema.

Passo 1

Fala ai pessoal o exercício pede que a gente determine a frequência de pequenas oscilações do sistema.

Considere:

L = comprimento de qualquer haste

M = massa de qualquer haste

Cinemática

v - m = 1 2 θ ˙ m

v - B E m = b θ ˙ m

Posição 1

T 1 = 0

V 1 = - 2 m g l 2 c o s ⁡ θ m - m g b c o s ⁡ θ m V 1 = - m g ( l + b ) c o s ⁡ θ n

Passo 2

Posição 2

V 2 = - 2 m g I 2 - m g b = - m g ( l + b )

T 2 = 2 1 2 I - θ ˙ m 2 + 1 2 m v - m 2 + 1 2 m v - B E m 2 = 1 12 m l 2 θ ˙ m 2 + m l 2 θ ˙ m 2 + 1 2 m b θ ˙ m 2

T 2 = 1 3 l 2 + 1 2 b 2 m θ ˙ m 2

Passo 3

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 : 0 ∼ m g ( l + b ) c o s ⁡ θ m = 1 3 l 2 + 1 2 b 2 m θ ˙ n i 2 - m g ( l + b )

m g ( I + b ) 1 - c o s ⁡ θ m = 1 3 l 2 + 1 2 b 2 m θ ˙ m 2

Para pequenas oscilações

1 - c o s ⁡ θ m = 1 2 θ m 2

1 2 m g ( l + b ) θ m 2 = 1 3 t 2 + 1 2 b 2 m θ ˙ m 2

Para movimento harmônico simples

θ ˙ m = ω n θ m : 1 2 m g ( l + b ) θ m 2 = 1 3 l 2 + 1 2 b 2 m ω n θ n l 2

ω n 2 = 1 2 g l + b 1 3 l 2 + 1 2 b 2

ou ω n 2 = 3 g l + b 2 l 2 + 3 b 2 (1)

para b = 3 4 l ,   t e m o s    

ω n 2 = 3 g l + 3 4 l 2 l 2 + 3 3 4 l 2 = 3 g 7 4 l 59 16 l 2 = 1.4237 g l

ω n = 1.1932 g i

f n = ω n 2 π = 1.1932 2 π g l

f h = 0.1899 g l

Resposta

f h = 0.1899 g l

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