A unidade de ventilação de massa m fechada em um duto é apoiada na posição vertical sobre o seu flange em A . A unidade aspira ar com uma massa específica ρ e uma velocidade u através da seção A e o descarrega através da seção B com uma velocidade v . Ambas as pressões de entrada e de saída são atmosféricas. Escreva uma expressão para a força R aplicada ao flange da unidade de ventilação pela laje de suporte.

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar a força resultante aplicada sobre a unidade de ventilação. Vamos usar a fórmula para a força resultante em um sistema de escoamento:

∑ F y = m ' Δ v y

Como o sistema está pendurado pelas bordas, a força resultante deve considerar tanto a força R que age sobre o ar, quanto a que sustenta o peso da unidade:

∑ F y = R - m g

Beleza, agora precisamos encontrar os outros termos da equação.

Passo 2

Vamos começar calculando a taxa de escoamento de massa do sistema. Segundo o enunciado, a velocidade com que o ar entra no duto é u , então:

m ' = ρ A u

m ' = ρ π d 2 2 ( u )

m ' = ρ π d 2 4 u

E agora vamos ver a variação de velocidades Δ v y . É importante lembrar que essa é a variação na direção da força, ou seja, precisamos projetar as velocidades no eixo vertical:

v 0 = - u

v f = - v cos ⁡ θ

E todas ficam com sinal negativo porque apontam para baixo.

Δ v y = - v cos ⁡ θ - ( - u )

Passo 3

E agora substituindo na equação da força resultante:

∑ F y = R - m g = ρ π d 2 4 u - v cos ⁡ θ - - u

É só isolar R :

R = m g + ρ π d 2 4 u u - v cos ⁡ θ

Resolvido!

Resposta

A força é dada por R = m g + ρ π d 2 4 u u - v cos ⁡ θ .

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