Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 99
Um foguete de dois estágios é lançado verticalmente para cima e está acima da atmosfera quando a combustão do primeiro estágio se extingue e o segundo estágio se separa e entra em ignição. O segundo estágio carrega de combustível e, vazio, possui uma massa de . Após a ignição o segundo estágio queima combustível na taxa de e tem uma velocidade constante de exaustão de em relação ao seu bocal. Determine a aceleração do segundo estágio segundos após a ignição e encontre a aceleração máxima e o tempo após a ignição em que ela ocorre. Despreze a variação de e considere-a como sendo para a faixa de altitude na média em torno de .
Passo 1
Vamos pensar apenas no segundo estágio do foguete, ou seja, estamos analisando o sistema já depois da separação. Precisamos de uma equação para a massa:
A massa inicial já foi dada no enunciado:
E a taxa de variação de massa também:
E então:
Passo 2
Agora vamos pensar na equação que dá a soma das forças externas que agem sobre um sistema:
Nesse caso a única força externa é a força peso, então:
E o sinal negativo aparece porque definimos o sentido positivo como sendo vertical para cima. E então nossa equação fica:
E a taxa de variação da velocidade é a aceleração que queremos calcular:
Agora podemos isolar a aceleração, e substituir conforme o enunciado:
E daí já podemos responder a primeira pergunta: a aceleração no instante é:
Passo 3
Agora queremos encontrar a aceleração máxima do segundo estágio. Naturalmente, essa aceleração vai acontecer assim que todo o combustível tiver sido queimado.
Como tínhamos de combustível e o foguete queima a cada segundo, o tempo total dessa queima será:
E a aceleração nesse instante é:
Resposta
No instante a aceleração é , e seu valor máximo é , que ocorre em aproximadamente .