Enunciado

Usando E = 200   G P a , determinar:

  1. a energia de deformação da barra de aço A B C , quando P = 60   k N ;
  2. a correspondente densidade de energia de deformação nas porções A B e B C da barra.

Passo 1

E aí, galerinha! Como anda a vida? Partiu fazer uma questão de energia de deformação?

Primeiro, o enunciado quer que a gente calcule a energia de deformação U de uma barra de aço sob carga P . A barra é formada por duas barras de aço: B C (mais grossa) e A B (mais fina). A barra B C mais grossa possui área de seção transversal constante igual a A B C e diâmetro D B C . A barra A B mais fina possui área de seção transversal constante igual a A A B e diâmetro D A B .

U A B e U B C são as energias de deformação das barras A B e B C respectivamente. L A B e L B C são os comprimentos das barras A B e B C respectivamente.

Como podemos ver na figura acima, a barra A B C é a soma das barras A B e B C . Por causa disso, a energia de deformação U da barra total tem que ser igual à soma entre a energia de deformação U B C da barra mais grossa e a energia de deformação U A B da barra mais fina.

U = U B C + U A B

A fórmula que calcula as energias de deformação de barras com áreas da seção transversal constantes é a fórmula 10.14 do livro.

Usaremos essa fórmula para U A B e U B C .

U A B = P 2 L A B 2 A A B E

U B C = P 2 L B C 2 A B C E

onde E é o módulo de elasticidade que vale 200   G P a segundo o enunciado.

Sabendo quanto U A B e U B C valem, podemos calcular a segunda informação que o enunciado quer. Ele quer as densidades de energia de deformação nas barras A B u A B e B C u B C .

u A B e u B C são as energias de deformação U A B e U B C divididas pelos volumes das barras!

u A B = U A B V A B

u B C = U B C V B C

onde V A B é o volume da barra A B e V B C é o volume da barra B C .

Agora que temos todas essas informações em mãos, vamos calcular a energia de deformação U da barra toda no próximo passo!

Passo 2

Nesse passo nós vamos resolver a letra (a) da questão. Ou seja, calcular a energia de deformação U da barra completa. Para isso, calcularemos U A B e U B C .

Antes de calcular esses dois valores, precisamos achar as áreas A A B e A B C em m 2 .

A A B = π × D A B 2 4       ⟹       A A B = π × 20 2 4       ⟹       A A B = 314   m m 2       ⟹       A A B = 314 × 10 - 6   m 2

A B C = π × D B C 2 4       ⟹       A B C = π × 23 2 4       ⟹       A B C = 415   m m 2       ⟹       A B C = 415 × 10 - 6   m 2  

Além disso, temos que converter a força P de k N para N , multiplicando P por 10 3 .

P = 60   k N       ⟹       P = 60 × 10 3   N

Por fim, temos que converter E de G P a para P a , multiplicando E por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

U A B = P 2 L A B 2 A A B E       ⟹       U A B = 60 × 10 3 2 × 0,9 2 × 314 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A B = 25,80   J

U B C = P 2 L B C 2 A B C E       ⟹       U B C = 60 × 10 3 2 × 1,2 2 × 415 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U B C = 26,02   J

U é a soma desses dois valores! Logo:

U = U A B + U B C       ⟹       U = 25,80 + 26,02       ⟹       U = 51,82   J

Passo 3

Nesse passo nós vamos resolver a letra (b) da questão, calculando u A B e u B C .

Para calcular esses valores, precisamos calcular os volumes das barras A B e B C . Eles são obtidos, multiplicando as áreas A A B e A B C por L A B e L B C .

V A B = A A B × L A B       ⟹       V A B = 314 × 10 - 6 × 0,9       ⟹       V A B = 282,6 × 10 - 6   m 2

V B C = A B C × L B C       ⟹       V B C = 415 × 10 - 6 × 1,2       ⟹       V B C = 498 × 10 - 6   m 2

Substituindo os volumes das fórmulas de u A B e u B C , achamos:

u A B = U A B V A B       ⟹       u A B = 25,80 282,6 × 10 - 6       ⟹       u A B = 91295   J m 3

u B C = U B C V B C       ⟹       u B C = 26,02 498 × 10 - 6       ⟹       u B C = 52249   J m 3

Aeeee! Chegamos ao fim dessa questão!

Resposta

a   U = 51,82   J

b   u A B = 91295   J m 3

              u B C = 52249   J m 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga uniforme com o carregamento mostrado, determinar a reação em cada um dos apoios
Para a viga e o carregamento do Prob. 10,44, determinar a deflexão no ponto D.
Para a viga com o carregamento indicado, determinar: (a) a declividade no ponto C;(b) a deflexão no ponto C. Usar E=200GPa.
Para a viga com o carregamento indicado, determinar: (a) a declividade no ponto A; (b) a deflexão no ponto C. Usar E = 200 G P a .
Para a viga e o carregamento do Prob. 10,42, determinar a deflexão no ponto A.